Номер 512, страница 154 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

512. *Непрозрачный шар радиусом $R = 21$ см плавает, наполовину погрузившись в воду. Абсолютный показатель преломления воды $n = \frac{4}{3}$. На вертикали, проходящей через центр шара, в воде находится точечный источник света. Определите расстояние между источником света и центром шара, если известно, что источник света удален от шара на такое максимальное расстояние, чтобы ни один луч света не вышел из воды в воздух.

Дано:

$R = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

$n = \frac{4}{3}$

Найти:

$L$ — расстояние между источником света и центром шара.

Решение:

Согласно условию, непрозрачный шар плавает, будучи погруженным в воду наполовину. Это значит, что его центр O лежит на поверхности воды. Источник света S находится в воде на одной вертикали с центром шара O. Обозначим искомое расстояние OS через $L$.

Условие, при котором ни один луч света не выходит из воды в воздух, означает, что все лучи от источника S, достигающие поверхности раздела «вода-воздух», должны претерпевать полное внутреннее отражение.

Полное внутреннее отражение наступает, когда угол падения луча $\alpha$ на границу раздела сред превышает или равен так называемому предельному (или критическому) углу $\alpha_{пр}$. Этот угол определяется законом Снеллиуса:

$n \cdot \sin \alpha_{пр} = n_{воздуха} \cdot \sin 90^\circ$

Поскольку показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$, а показатель преломления воды $n = \frac{4}{3}$, получаем:

$\sin \alpha_{пр} = \frac{1}{n} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4}$

Так как шар непрозрачен, он блокирует часть лучей, исходящих от источника S. Лучи, которые могут достичь поверхности воды, — это те, которые не встречают на своем пути шар. Граничными лучами, отделяющими область света от области тени, являются лучи, касательные к поверхности шара.

Эти касательные лучи имеют наименьший угол падения на поверхность воды среди всех лучей, которые не блокируются шаром. Угол падения на границу «вода-воздух» — это угол между направлением луча и нормалью к поверхности, то есть вертикалью. Обозначим этот минимальный угол падения как $\theta$.

Чтобы ни один луч не покинул воду, необходимо, чтобы даже этот граничный луч испытал полное внутреннее отражение. Для этого его угол падения $\theta$ должен быть не меньше предельного угла $\alpha_{пр}$:

$\theta \ge \alpha_{пр}$

Рассмотрим геометрическую схему. Пусть T — точка касания луча, исходящего из источника S, к поверхности шара. Треугольник $\triangle OTS$ является прямоугольным, поскольку радиус $OT$, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной $ST$. В этом треугольнике гипотенузой является отрезок $OS=L$, а катетом — радиус шара $OT=R$. Угол $\angle OST$ как раз и является углом $\theta$ между касательным лучом и вертикалью.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OTS$ находим синус угла $\theta$:

$\sin \theta = \frac{OT}{OS} = \frac{R}{L}$

Теперь вернемся к условию полного внутреннего отражения. Так как функция синуса для острых углов является возрастающей, из $\theta \ge \alpha_{пр}$ следует $\sin \theta \ge \sin \alpha_{пр}$. Подставим полученные выражения:

$\frac{R}{L} \ge \frac{1}{n}$

Выразим отсюда $L$:

$L \le nR$

В задаче требуется найти максимальное расстояние $L$, при котором выполняется данное условие. Максимальное значение $L$ достигается при знаке равенства:

$L_{max} = nR$

Выполним вычисления:

$L = \frac{4}{3} \cdot 21 \text{ см} = 4 \cdot \frac{21}{3} \text{ см} = 4 \cdot 7 \text{ см} = 28 \text{ см}$

Ответ: 28 см.