Номер 518, страница 155 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

518.*В центр основания цилиндрического стеклянного стержня диаметром $d = 7,0$ мм падает из воздуха луч монохроматического света под углом, синус которого равен $0,56$ ($\sin\alpha = 0,56$). После преломления и трехкратного отражения от зеркальной боковой внутренней поверхности луч выходит из стержня через центр его другого основания. Абсолютный показатель преломления стекла $n = 2,0$. Определите длину стержня.

Дано:

Диаметр стержня, $d = 7,0 \text{ мм} = 7,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Синус угла падения луча, $\sin\alpha = 0,56$

Абсолютный показатель преломления стекла, $n = 2,0$

Показатель преломления воздуха, $n_{\text{воздуха}} \approx 1$

Число отражений от боковой поверхности, $N = 3$

Найти:

Длину стержня, $L$

Решение:

1. При входе луча из воздуха в стеклянный стержень происходит преломление света. Угол падения $\alpha$ и угол преломления $\beta$ связаны законом Снеллиуса:

$n_{\text{воздуха}} \sin\alpha = n \sin\beta$

Принимая показатель преломления воздуха $n_{\text{воздуха}} = 1$, выразим синус угла преломления $\beta$ (угол между преломленным лучом и осью цилиндра):

$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{0,56}{2,0} = 0,28$

2. Для определения пути луча внутри стержня нам понадобится тангенс угла преломления. Найдем его через синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$. Поскольку угол преломления $\beta$ находится в диапазоне $(0, 90^{\circ})$, его косинус будет положительным.

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - (0,28)^2} = \sqrt{1 - 0,0784} = \sqrt{0,9216} = 0,96$

Теперь можем найти тангенс угла преломления:

$\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{0,28}{0,96} = \frac{28}{96} = \frac{7}{24}$

3. Рассмотрим ход луча в осевом сечении цилиндра. Луч входит в центр основания, движется под углом $\beta$ к оси, испытывает три отражения от боковой поверхности и выходит через центр другого основания. Путь луча можно представить как сумму четырех участков.

Пусть $L$ - длина стержня, $d$ - его диаметр. Связь между продольным смещением луча $\Delta L$ и его поперечным смещением $\Delta x$ на каждом участке определяется углом $\beta$: $\text{tg}\beta = \frac{\Delta x}{\Delta L}$.

• На первом участке луч смещается от центра до боковой стенки. Поперечное смещение $\Delta x_1$ равно радиусу $r = d/2$. Продольное смещение: $\Delta L_1 = \frac{\Delta x_1}{\text{tg}\beta} = \frac{d/2}{\text{tg}\beta}$.

• На втором участке луч после первого отражения пересекает стержень от одной стенки до другой. Поперечное смещение $\Delta x_2$ равно диаметру $d$. Продольное смещение: $\Delta L_2 = \frac{d}{\text{tg}\beta}$.

• На третьем участке после второго отражения луч снова пересекает стержень. Поперечное смещение $\Delta x_3 = d$. Продольное смещение: $\Delta L_3 = \frac{d}{\text{tg}\beta}$.

• На четвертом участке после третьего отражения луч движется от стенки к центру выходного основания. Поперечное смещение $\Delta x_4 = r = d/2$. Продольное смещение: $\Delta L_4 = \frac{d/2}{\text{tg}\beta}$.

Общая длина стержня $L$ равна сумме продольных смещений на всех участках:

$L = \Delta L_1 + \Delta L_2 + \Delta L_3 + \Delta L_4 = \frac{d/2}{\text{tg}\beta} + \frac{d}{\text{tg}\beta} + \frac{d}{\text{tg}\beta} + \frac{d/2}{\text{tg}\beta} = \frac{d/2 + d + d + d/2}{\text{tg}\beta} = \frac{3d}{\text{tg}\beta}$

4. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$L = \frac{3 \cdot 7,0 \text{ мм}}{7/24} = \frac{21 \text{ мм} \cdot 24}{7} = 3 \cdot 24 \text{ мм} = 72 \text{ мм}$

Ответ: длина стержня составляет 72 мм.