Номер 521, страница 156 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

521. *Стеклянный шар диаметром $d = 25$ см находится в воздухе. На шар падают два симметричных относительно его центра параллельных луча (рис. 142). Расстояние между лучами $l = 20$ см. Определите абсолютный показатель преломления стекла, если лучи пересекаются в точке A.

Рис. 142

Дано:

Диаметр стеклянного шара, $d = 25$ см

Расстояние между лучами, $l = 20$ см

Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$

Перевод в систему СИ:
$d = 0.25$ м
$l = 0.20$ м

Найти:

Абсолютный показатель преломления стекла, $n_2 = n$.

Решение:

Рассмотрим ход одного из лучей, например, верхнего. Пусть $O$ — центр шара, $R = d/2$ — его радиус. Луч падает на поверхность шара в точке $P$ на расстоянии $h = l/2$ от главной оптической оси.

Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности в точке падения. Нормалью в данном случае является радиус $OP$. Из геометрии прямоугольного треугольника, образованного радиусом, оптической осью и перпендикуляром из точки $P$ на ось, следует:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{R} = \frac{l/2}{d/2} = \frac{l}{d}$

Подставим числовые значения:

$\sin(\alpha) = \frac{20 \text{ см}}{25 \text{ см}} = 0.8$

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса) в точке $P$:

$n_1 \sin(\alpha) = n \sin(\beta)$

где $n_1=1$ — показатель преломления воздуха, $n$ — искомый показатель преломления стекла, а $\beta$ — угол преломления (угол между преломленным лучом $PA$ и нормалью $OP$).

Таким образом, $\sin(\alpha) = n \sin(\beta)$.

Теперь рассмотрим треугольник $OPA$, где $A$ — точка пересечения лучей на оптической оси. Так как $OP$ и $OA$ являются радиусами шара, $OP = OA = R$. Следовательно, треугольник $OPA$ — равнобедренный с основанием $PA$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OPA = \angle OAP$. Угол $\angle OPA$ по определению и есть угол преломления $\beta$. Значит, $\angle OAP$ также равен $\beta$.

Найдем угол при вершине $O$, то есть $\angle POA$. Падающий луч параллелен оптической оси $OA$. Радиус $OP$ является секущей. Угол падения $\alpha$ (между падающим лучом и нормалью $OP$) и угол между продолжением оси $OA$ влево от точки $O$ и нормалью $OP$ являются накрест лежащими, а значит, равны. Угол $\angle POA$ является смежным к этому углу, поэтому:

$\angle POA = 180^\circ - \alpha$

Сумма углов в треугольнике $OPA$ равна $180^\circ$:

$\angle POA + \angle OPA + \angle OAP = 180^\circ$

Подставим выражения для углов:

$(180^\circ - \alpha) + \beta + \beta = 180^\circ$

$-\alpha + 2\beta = 0 \implies 2\beta = \alpha \implies \beta = \frac{\alpha}{2}$

Подставим это соотношение в закон преломления:

$\sin(\alpha) = n \sin(\frac{\alpha}{2})$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$.

$2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = n \sin(\frac{\alpha}{2})$

Так как луч падает не по центру, $\alpha \neq 0$, и можно сократить на $\sin(\frac{\alpha}{2})$:

$n = 2\cos(\frac{\alpha}{2})$

Чтобы найти $\cos(\frac{\alpha}{2})$, сначала найдем $\cos(\alpha)$ из основного тригонометрического тождества. Поскольку $\alpha$ — острый угол, $\cos(\alpha)$ положителен:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$

Теперь используем формулу косинуса половинного угла:

$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 0.6}{2}} = \sqrt{\frac{1.6}{2}} = \sqrt{0.8}$

Наконец, вычисляем показатель преломления:

$n = 2\sqrt{0.8} = 2\sqrt{\frac{4}{5}} = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \approx 1.79$

Ответ: Абсолютный показатель преломления стекла равен $\frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.79$.