Номер 523, страница 157 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

523. Оптически прозрачный шар радиусом $R = 40$ мм помещен в параллельный пучок лучей света. Минимальное расстояние, пройденное одним из преломленных лучей внутри шара (до первого пересечения с поверхностью), оказалось $l = 60$ мм. Определите абсолютный показатель преломления материала шара, если он находится в воздухе.

Дано:

Радиус шара $R = 40 \text{ мм} = 0.04 \text{ м}$

Минимальное расстояние, пройденное лучом внутри шара $l_{min} = 60 \text{ мм} = 0.06 \text{ м}$

Показатель преломления воздуха $n_{воздуха} \approx 1$

Найти:

Абсолютный показатель преломления материала шара $n$.

Решение:

Рассмотрим луч света из параллельного пучка, который падает на шар. Пусть ось пучка проходит через центр шара. Обозначим расстояние от луча до этой оси как $h$ (прицельный параметр). Угол падения луча $\alpha$ на сферическую поверхность связан с радиусом шара $R$ и прицельным параметром $h$ следующим соотношением:

$\sin \alpha = \frac{h}{R}$

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса) на границе воздух-шар:

$n_{воздуха} \sin \alpha = n \sin \beta$

где $n$ — искомый показатель преломления материала шара, а $\beta$ — угол преломления. Так как $n_{воздуха} \approx 1$, то:

$\sin \alpha = n \sin \beta$

После входа в шар луч распространяется по прямой, которая является хордой сферы. Длину этой хорды $l$ можно найти, рассмотрев равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными в точки входа и выхода луча, и самой хордой. Угол при вершине этого треугольника равен $2(\alpha - \beta)$, а углы при основании равны $\frac{180^\circ - 2(\alpha - \beta)}{2} = 90^\circ - (\alpha - \beta)$. Другой, более простой способ, заключается в том, что угол между преломленным лучом (хордой) и радиусом, проведенным в точку падения, равен углу преломления $\beta$. Тогда длина хорды $l$ выражается через радиус $R$ и угол $\beta$:

$l = 2R \cos \beta$

Теперь необходимо выразить длину пути $l$ как функцию от прицельного параметра $h$. Для этого используем тригонометрическое тождество и закон преломления:

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta}$

Из закона преломления: $\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n} = \frac{h/R}{n} = \frac{h}{nR}$.

Подставим $\sin \beta$ в выражение для $\cos \beta$:

$\cos \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{h}{nR}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{h^2}{n^2R^2}}$

Следовательно, зависимость длины пути луча внутри шара от прицельного параметра имеет вид:

$l(h) = 2R \sqrt{1 - \frac{h^2}{n^2R^2}}$

Чтобы найти минимальное расстояние, нужно исследовать эту функцию на отрезке $h \in [0, R]$. Так как с ростом $h$ значение $h^2$ увеличивается, то выражение $1 - \frac{h^2}{n^2R^2}$ уменьшается. Следовательно, функция $l(h)$ является монотонно убывающей. Её минимальное значение достигается при максимальном возможном значении $h$, то есть при $h=R$ (когда падающий луч касается поверхности шара).

Найдем $l_{min}$, подставив $h=R$:

$l_{min} = 2R \sqrt{1 - \frac{R^2}{n^2R^2}} = 2R \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}$

Из условия задачи $l_{min} = 60$ мм и $R = 40$ мм. Подставим эти значения в формулу (можно использовать значения в миллиметрах, так как их отношение не зависит от единиц измерения):

$60 = 2 \cdot 40 \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}$

$60 = 80 \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}$

Разделим обе части на 80:

$\frac{60}{80} = \frac{3}{4} = \sqrt{1 - \frac{1}{n^2}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{n^2}$

$\frac{9}{16} = 1 - \frac{1}{n^2}$

Отсюда выразим $\frac{1}{n^2}$:

$\frac{1}{n^2} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}$

Тогда $n^2$ равно:

$n^2 = \frac{16}{7}$

Извлекаем квадратный корень (показатель преломления $n>0$):

$n = \sqrt{\frac{16}{7}} = \frac{4}{\sqrt{7}}$

Для получения численного ответа можно избавиться от иррациональности в знаменателе и вычислить значение:

$n = \frac{4\sqrt{7}}{7} \approx 1.51$

Ответ: Абсолютный показатель преломления материала шара равен $n = \frac{4\sqrt{7}}{7} \approx 1.51$.