Номер 529, страница 159 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

529. Конический пучок белого света, расходящийся под малым углом, падает на экран. На экране наблюдается белый круг. Перед экраном поместили плоскопараллельную стеклянную пластину так, что ее плоскость перпендикулярна оси пучка. Показатель преломления стекла слегка зависит от длины волны света: чем больше длина волны, тем меньше показатель преломления. Выберите справедливое утверждение: a) граница круга на экране останется белой; б) граница круга на экране окрасится в красный цвет; в) граница круга на экране окрасится в зеленый цвет; г) граница круга на экране окрасится в фиолетовый цвет. Обоснуйте ответ.

Решение

Когда конический пучок белого света проходит через плоскопараллельную стеклянную пластину, каждый луч, падающий на нее под углом, испытывает боковое смещение. После выхода из пластины луч остается параллельным своему первоначальному направлению, но смещается в сторону оси пучка. В результате радиус светового круга на экране уменьшается.

Величина смещения зависит от показателя преломления стекла, который, в свою очередь, зависит от длины волны света (явление дисперсии). Рассмотрим луч, идущий по границе светового пучка под углом падения $\alpha$ к нормали. Угол преломления $\beta$ определяется законом Снеллиуса:
$1 \cdot \sin{\alpha} = n(\lambda) \cdot \sin{\beta}$
где $n(\lambda)$ — показатель преломления стекла для света с длиной волны $\lambda$.

Смещение луча на экране, а следовательно, и уменьшение радиуса светового круга $\Delta R$, зависит от толщины пластины $h$ и углов $\alpha$ и $\beta$:
$\Delta R = h (\tan{\alpha} - \tan{\beta})$

Согласно условию задачи, показатель преломления стекла уменьшается с увеличением длины волны. В видимом спектре длина волны красного света ($\lambda_к$) наибольшая, а фиолетового ($\lambda_ф$) — наименьшая:
$\lambda_к > \lambda_ф$
Следовательно, для их показателей преломления выполняется соотношение:
$n_к < n_ф$

Теперь сравним углы преломления для красного и фиолетового света. Из закона Снеллиуса $\sin{\beta} = \frac{\sin{\alpha}}{n}$. Так как $n_к < n_ф$, то:
$\frac{1}{n_к} > \frac{1}{n_ф} \implies \sin{\beta_к} > \sin{\beta_ф}$
Поскольку углы преломления острые, из этого следует, что $\beta_к > \beta_ф$.

Это означает, что красный свет преломляется слабее (отклоняется на меньший угол от первоначального направления внутри пластины), чем фиолетовый.

Проанализируем уменьшение радиуса $\Delta R$ для этих цветов. Функция тангенса возрастает для острых углов, поэтому из $\beta_к > \beta_ф$ следует, что $\tan{\beta_к} > \tan{\beta_ф}$.
Уменьшение радиуса для красного света: $\Delta R_к = h (\tan{\alpha} - \tan{\beta_к})$
Уменьшение радиуса для фиолетового света: $\Delta R_ф = h (\tan{\alpha} - \tan{\beta_ф})$
Так как $\tan{\beta_к} > \tan{\beta_ф}$, то вычитаемое для красного света больше, а значит, само уменьшение радиуса для красного света меньше:
$\Delta R_к < \Delta R_ф$

Таким образом, радиус светового круга для красного света уменьшится на меньшую величину, чем для фиолетового. Это приведет к тому, что на экране световое пятно будет иметь цветную кайму. Внешний край этой каймы, соответствующий наибольшему радиусу, будет красным, а внутренний — фиолетовым.

Ответ: б) граница круга на экране окрасится в красный цвет.