Номер 522, страница 157 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

522. *Луч света падает перпендикулярно на плоскую поверхность оптически прозрачного полушара (рис. 143). Радиус шара $R$. Расстояние от луча до оси $OA$, проходящей через центр полусферической поверхности, $a = 0,6R$. Абсолютный показатель преломления материала шара $n = \frac{4}{3}$. Определите расстояние от точки $O$ до точки $A$ пересечения луча, преломленного на сферической поверхности, с осью $OA$.

Рис. 143

Дано:

Радиус полусферы: $R$

Расстояние от луча до оси: $a = 0,6R$

Абсолютный показатель преломления материала шара: $n = \frac{4}{3}$

Абсолютный показатель преломления воздуха (среды, в которую выходит луч): $n_1 = 1$

Найти:

Расстояние $OA$.

Решение:

Луч света падает перпендикулярно на плоскую поверхность полусферы, следовательно, на этой границе он не преломляется и продолжает свое движение прямолинейно, параллельно оптической оси $OA$, до точки B на сферической поверхности.

В точке B луч преломляется, выходя из полусферы в воздух. Нормалью к сферической поверхности в точке B является радиус $OB$. Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом (параллельным оси $OA$) и нормалью $OB$. Из геометрии (рассмотрев прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и катетом $a$) находим синус угла падения:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{R} = \frac{0,6R}{R} = 0,6$

Применим закон преломления света (закон Снеллиуса) в точке B:

$n \sin(\alpha) = n_1 \sin(\beta)$

где $\beta$ — угол преломления, то есть угол между нормалью $OB$ и преломленным лучом $BA$.

Выразим синус угла преломления:

$\sin(\beta) = \frac{n}{n_1} \sin(\alpha) = \frac{4/3}{1} \cdot 0,6 = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5} = 0,8$

Рассмотрим треугольник $\triangle OBA$. Преломленный луч пересекает оптическую ось в точке A. Найдем искомое расстояние $OA$, применив теорему синусов для этого треугольника:

$\frac{OA}{\sin(\angle OBA)} = \frac{OB}{\sin(\angle OAB)}$

Определим углы треугольника $\triangle OBA$:

1. $\angle AOB = \alpha$ (как накрест лежащий угол при параллельных прямых — падающем луче и оси $OA$ — и секущей $OB$).

2. Угол $\beta$ и угол $\angle OBA$ являются смежными, так как $\beta$ — это угол между продолжением радиуса $OB$ и лучом $BA$. Следовательно, $\angle OBA = 180^\circ - \beta$.

3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle OAB = 180^\circ - \angle AOB - \angle OBA = 180^\circ - \alpha - (180^\circ - \beta) = \beta - \alpha$.

Подставим найденные углы и сторону $OB = R$ в теорему синусов:

$\frac{OA}{\sin(180^\circ - \beta)} = \frac{R}{\sin(\beta - \alpha)}$

Так как $\sin(180^\circ - \beta) = \sin(\beta)$, получаем выражение для $OA$:

$OA = R \frac{\sin(\beta)}{\sin(\beta - \alpha)}$

Для вычисления нам необходимо найти $\sin(\beta - \alpha)$. Используем формулу синуса разности: $\sin(\beta - \alpha) = \sin(\beta)\cos(\alpha) - \cos(\beta)\sin(\alpha)$.

Найдем косинусы углов $\alpha$ и $\beta$ (углы острые, поэтому косинусы положительны):

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$

$\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь вычислим $\sin(\beta - \alpha)$:

$\sin(\beta - \alpha) = 0,8 \cdot 0,8 - 0,6 \cdot 0,6 = 0,64 - 0,36 = 0,28$

Наконец, подставим все значения в формулу для $OA$:

$OA = R \frac{0,8}{0,28} = R \frac{80}{28} = R \frac{20}{7}$

Ответ: $OA = \frac{20}{7}R$.