Номер 520, страница 156 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

520. Из плексигласа с абсолютным показателем преломления $n = 1,5$ изготовлен полушар (рис. 141). Определите максимальный диаметр падающего из воздуха на полушар пучка света, для которого ни один луч не испытывал бы полное отражение на сферической поверхности полушара, если ее радиус $R = 4,5 \text{ см}$.

Рис. 141

Дано:

Абсолютный показатель преломления плексигласа, $n = 1,5$

Радиус полушара, $R = 4,5 \text{ см} = 0,045 \text{ м}$

Показатель преломления воздуха, $n_{возд} \approx 1$

Найти:

Максимальный диаметр пучка света, $d_{max}$ - ?

Решение:

Лучи света из пучка падают перпендикулярно на плоскую поверхность полушара. При таком падении угол падения равен нулю, и лучи входят в плексиглас, не изменяя своего направления. Внутри полушара они распространяются прямолинейно до его сферической поверхности.

На границе "плексиглас-воздух" свет переходит из среды с большим показателем преломления $n$ в среду с меньшим показателем преломления $n_{возд}$. В этом случае возможно явление полного внутреннего отражения, если угол падения луча $\alpha$ на эту границу превышает предельный (критический) угол $\alpha_{пр}$.

Предельный угол полного внутреннего отражения находится из закона преломления света (закона Снеллиуса):

$n \cdot \sin(\alpha_{пр}) = n_{возд} \cdot \sin(90^\circ)$

Принимая $n_{возд} = 1$, получаем:

$n \cdot \sin(\alpha_{пр}) = 1$

Отсюда синус предельного угла равен:

$\sin(\alpha_{пр}) = \frac{1}{n}$

Чтобы ни один луч не испытал полного отражения, угол падения любого луча на сферическую поверхность не должен превышать предельный угол, то есть должно выполняться условие $\alpha \le \alpha_{пр}$.

Рассмотрим геометрию падения луча на сферическую поверхность. Пусть луч падает на расстоянии $r$ от центра плоской поверхности. Нормалью к сферической поверхности в точке падения луча является радиус $R$, проведенный в эту точку. Угол падения $\alpha$ — это угол между падающим лучом (который перпендикулярен плоской поверхности) и нормалью (радиусом). Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом $R$ (гипотенуза), расстоянием $r$ от центра (катет) и перпендикуляром, опущенным из точки падения на плоскую поверхность, можно найти синус угла падения:

$\sin(\alpha) = \frac{r}{R}$

Угол падения $\alpha$ увеличивается с увеличением расстояния $r$ от центра. Максимальный угол падения будет у крайних лучей пучка, для которых $r = r_{max} = d_{max}/2$. Чтобы эти лучи не испытали полного отражения, их угол падения должен быть равен предельному углу:

$\sin(\alpha_{max}) = \sin(\alpha_{пр})$

Подставляя выражения для синусов, получаем:

$\frac{r_{max}}{R} = \frac{1}{n}$

Заменяем $r_{max}$ на $d_{max}/2$:

$\frac{d_{max}/2}{R} = \frac{1}{n}$

$\frac{d_{max}}{2R} = \frac{1}{n}$

Выражаем максимальный диаметр $d_{max}$:

$d_{max} = \frac{2R}{n}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$d_{max} = \frac{2 \cdot 4,5 \text{ см}}{1,5} = \frac{9 \text{ см}}{1,5} = 6 \text{ см}$

Ответ: Максимальный диаметр падающего пучка света, для которого ни один луч не испытывал бы полное отражение, равен 6 см.