Номер 515, страница 155 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

515. *В стекле с показателем преломления $n_1 = 1,5$ имеется сферическая полость радиусом $R = 9 \text{ см}$, заполненная водой с показателем преломления $n_2 = \frac{4}{3}$. На полость падают параллельные лучи света вдоль одного из диаметров сферы. Определите радиус светового пучка, который проникает в полость.

Дано:

Показатель преломления стекла $n_1 = 1,5$

Показатель преломления воды $n_2 = \frac{4}{3}$

Радиус сферической полости $R = 9$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 9 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,09 \text{ м}$

Найти:

Радиус светового пучка, который проникает в полость, $r$ — ?

Решение:

Параллельный пучок света падает из стекла (среда с показателем преломления $n_1$) на сферическую границу раздела с водой (среда с показателем преломления $n_2$). Поскольку свет переходит из оптически более плотной среды (стекло, $n_1 = 1,5$) в оптически менее плотную (вода, $n_2 = 4/3 \approx 1,33$), при определённых углах падения возможно явление полного внутреннего отражения.

Радиус светового пучка, который проникает в полость, ограничен лучами, которые падают на границу раздела под критическим углом $\alpha_c$. Лучи, падающие на большем расстоянии от центра (и, соответственно, под большим углом), будут испытывать полное внутреннее отражение и не проникнут в воду.

Таким образом, искомый радиус пучка $r$ соответствует падению его крайних лучей на границу раздела под критическим углом.

Из закона преломления света (закона Снеллиуса) условие для критического угла $\alpha_c$ определяется при угле преломления $\beta = 90^\circ$:

$n_1 \sin \alpha_c = n_2 \sin 90^\circ$

Отсюда находим синус критического угла:

$\sin \alpha_c = \frac{n_2}{n_1}$

Рассмотрим геометрию падения луча, идущего параллельно диаметру на расстоянии $r$ от него. Угол падения $\alpha$ на сферическую поверхность радиусом $R$ — это угол между падающим лучом и нормалью к поверхности в точке падения (которой является радиус $R$). Из геометрических соображений:

$\sin \alpha = \frac{r}{R}$

Для предельного случая, когда луч падает под критическим углом $\alpha = \alpha_c$, радиус падающего пучка $r$ будет максимальным. Приравнивая два выражения для $\sin \alpha_c$, получаем:

$\frac{r}{R} = \frac{n_2}{n_1}$

Выразим искомый радиус светового пучка $r$:

$r = R \cdot \frac{n_2}{n_1}$

Подставим числовые значения. Для удобства представим $n_1 = 1,5$ в виде дроби $3/2$. Расчёт можно вести в сантиметрах.

$r = 9 \text{ см} \cdot \frac{4/3}{3/2} = 9 \text{ см} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3} = 9 \cdot \frac{8}{9} \text{ см} = 8 \text{ см}$

Следовательно, в полость проникают только те лучи, которые находятся в пределах пучка радиусом 8 см.

Ответ: радиус светового пучка, который проникает в полость, равен 8 см.