Номер 514, страница 154 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

514. *К плоскопараллельной стеклянной пластине приложили лист мокрой тонкой бумаги, а к листу бумаги — фольгу с небольшим отверстием (рис. 138, а). Когда к отверстию поднесли источник света, на бумаге стали видны кольца, значительно отличающиеся по освещенности (рис. 138, б). Определите толщину стеклянной пластины, если абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,5$.

Рис. 138

Дано

Абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,5$.

Из рисунка 138, б, можно определить радиус $R$ внешней границы наблюдаемой интерференционной картины. Масштаб на рисунке: 2 клетки соответствуют 4 мм, следовательно, цена деления одной клетки составляет 2 мм. Внешний радиус картины $R$ составляет примерно 3,5 клетки.

$R = 3,5 \times 2 \text{ мм} = 7 \text{ мм}$.

Перевод в систему СИ:

$R = 7 \times 10^{-3} \text{ м}$.

Найти:

Толщину стеклянной пластины $d$.

Решение

Наблюдаемые на бумаге кольца представляют собой интерференционную картину. Она возникает в результате сложения световых волн, отраженных от двух поверхностей плоскопараллельной стеклянной пластины: передней (граница бумага-стекло) и задней (граница стекло-воздух). Поскольку источник света является точечным (небольшое отверстие в фольге), а пластина плоскопараллельная, наблюдаются кольца равного наклона.

Рассмотрим луч света, выходящий из источника O (отверстие) и формирующий кольцо радиусом $r$ в точке P на бумаге. Этот луч преломляется в стекле под углом $\theta_t$ к нормали, отражается от задней поверхности и выходит из стекла в точке P. Из геометрии такой системы следует, что радиус кольца $r$ связан с толщиной пластины $d$ и углом преломления $\theta_t$ соотношением:

$r = 2d \tan\theta_t$

Интерференционная картина имеет четко выраженную внешнюю границу. Эта граница соответствует такому углу падения луча на заднюю поверхность стекла $\theta_t$, который равен критическому углу полного внутреннего отражения $\theta_c$. При углах $\theta_t > \theta_c$ свет полностью отражается обратно в стекло и не выходит наружу, чтобы сформировать видимую картину в этом месте. Таким образом, радиус самого большого видимого кольца $R$ соответствует критическому углу.

Условие полного внутреннего отражения для границы стекло-воздух записывается как:

$\sin\theta_c = \frac{n_{воздуха}}{n_{стекла}} = \frac{1}{n}$

Чтобы найти тангенс критического угла, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$\tan\theta_c = \frac{\sin\theta_c}{\cos\theta_c} = \frac{\sin\theta_c}{\sqrt{1-\sin^2\theta_c}} = \frac{1/n}{\sqrt{1-(1/n)^2}} = \frac{1/n}{\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}$

Теперь мы можем связать радиус внешней границы картины $R$ с толщиной пластины $d$, подставив выражение для $\tan\theta_c$:

$R = 2d \tan\theta_c = \frac{2d}{\sqrt{n^2-1}}$

Из этого соотношения выразим искомую толщину $d$:

$d = \frac{R \sqrt{n^2-1}}{2}$

Подставим числовые значения из условия и измеренные по рисунку:

$d = \frac{7 \times 10^{-3} \text{ м} \times \sqrt{1,5^2 - 1}}{2} = \frac{7 \times 10^{-3} \times \sqrt{2,25 - 1}}{2} = \frac{7 \times 10^{-3} \times \sqrt{1,25}}{2}$

$d \approx \frac{7 \times 10^{-3} \times 1,118}{2} \approx \frac{7,826 \times 10^{-3}}{2} \approx 3,913 \times 10^{-3} \text{ м}$

Переводя в миллиметры, получаем $d \approx 3,9$ мм.

Ответ:

Толщина стеклянной пластины составляет приблизительно $3,9 \text{ мм}$.