Номер 536, страница 161 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

536. Определите время, на которое вследствие дисперсии запаздывает синий свет по сравнению с красным, проходя оптоволокно длиной $l = 15 \text{ км}$. Разность показателей преломления оптоволокна для синего и красного света $n_\text{с} - n_\text{к} = 0,028$.

Дано:

$l = 15 \text{ км} = 15 \cdot 10^3 \text{ м}$

$n_с - n_к = 0,028$

$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ (скорость света в вакууме)

Найти:

$\Delta t - ?$

Решение:

Запаздывание одного сигнала относительно другого возникает из-за явления дисперсии света в оптоволокне. Дисперсия заключается в зависимости показателя преломления среды $n$ от частоты (или длины волны) света. Из-за этого свет разного цвета распространяется в среде с разной скоростью.

Скорость распространения света в среде с показателем преломления $n$ определяется формулой: $v = \frac{c}{n}$, где $c$ - скорость света в вакууме.

Скорость синего света в оптоволокне: $v_с = \frac{c}{n_с}$.

Скорость красного света в оптоволокне: $v_к = \frac{c}{n_к}$.

Время, за которое синий и красный свет проходят расстояние $l$, равно соответственно:

$t_с = \frac{l}{v_с} = \frac{l \cdot n_с}{c}$

$t_к = \frac{l}{v_к} = \frac{l \cdot n_к}{c}$

Поскольку показатель преломления для синего света больше ($n_с > n_к$), его скорость в оптоволокне меньше, и, следовательно, он проходит дистанцию $l$ за большее время. Время запаздывания синего света по сравнению с красным равно разности времени их прохождения:

$\Delta t = t_с - t_к = \frac{l \cdot n_с}{c} - \frac{l \cdot n_к}{c} = \frac{l}{c}(n_с - n_к)$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta t = \frac{15 \cdot 10^3 \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} \cdot 0,028 = (5 \cdot 10^{-5} \text{ с}) \cdot 0,028 = 0,14 \cdot 10^{-5} \text{ с} = 1,4 \cdot 10^{-6} \text{ с}$

Поскольку $1 \text{ мкс} = 10^{-6} \text{ с}$, то $\Delta t = 1,4 \text{ мкс}$.

Ответ: время, на которое вследствие дисперсии запаздывает синий свет по сравнению с красным, составляет $1,4 \cdot 10^{-6} \text{ с}$ (или $1,4 \text{ мкс}$).