Номер 539, страница 161 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

539. Луч белого света падает из воздуха на прозрачную пластинку толщиной $h = 2,0$ см под углом $\alpha = 60^{\circ}$. Определите смещение $\Delta l_{\text{к}}$ и $\Delta l_{\text{ф}}$ красного и фиолетового лучей при прохождении этой пластинки. Абсолютный показатель преломления вещества пластинки для красного света $n_{\text{к}} = 1,60$, фиолетового — $n_{\text{ф}} = 1,64$.

Дано:

Толщина пластинки, $h = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Угол падения, $\alpha = 60^\circ$

Показатель преломления для красного света, $n_к = 1,60$

Показатель преломления для фиолетового света, $n_ф = 1,64$

Показатель преломления воздуха, $n_1 \approx 1$

Найти:

$\Delta l_к$ — ?

$\Delta l_ф$ — ?

Решение:

При прохождении луча света через плоскопараллельную пластинку он выходит из нее параллельно первоначальному направлению, но со смещением. Величина этого смещения $\Delta l$ определяется по формуле:

$\Delta l = \frac{h \cdot \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\beta)}$,

где $h$ — толщина пластинки, $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

Угол преломления $\beta$ можно найти из закона преломления света (закона Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

Поскольку луч падает из воздуха ($n_1 = 1$), а $n_2$ — показатель преломления вещества пластинки, формула принимает вид:

$\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n_2}$

Так как показатель преломления зависит от длины волны света (дисперсия), смещение для красного и фиолетового лучей будет разным. Рассчитаем его для каждого случая отдельно.

Смещение красного луча ($\Delta l_к$)

1. Найдем угол преломления для красного луча $\beta_к$:

$\sin\beta_к = \frac{\sin\alpha}{n_к} = \frac{\sin60^\circ}{1,60} = \frac{\sqrt{3}/2}{1,60} \approx \frac{0,8660}{1,60} \approx 0,5413$

$\beta_к = \arcsin(0,5413) \approx 32,77^\circ$

2. Рассчитаем смещение $\Delta l_к$:

$\Delta l_к = \frac{h \cdot \sin(\alpha - \beta_к)}{\cos(\beta_к)} = \frac{0,02 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ - 32,77^\circ)}{\cos(32,77^\circ)} = \frac{0,02 \cdot \sin(27,23^\circ)}{\cos(32,77^\circ)}$

$\Delta l_к \approx \frac{0,02 \cdot 0,4576}{0,8408} \approx 0,01088 \text{ м} \approx 1,09 \text{ см}$

Ответ: смещение красного луча составляет $\Delta l_к \approx 1,09 \text{ см}$.

Смещение фиолетового луча ($\Delta l_ф$)

1. Найдем угол преломления для фиолетового луча $\beta_ф$:

$\sin\beta_ф = \frac{\sin\alpha}{n_ф} = \frac{\sin60^\circ}{1,64} = \frac{\sqrt{3}/2}{1,64} \approx \frac{0,8660}{1,64} \approx 0,5280$

$\beta_ф = \arcsin(0,5280) \approx 31,87^\circ$

2. Рассчитаем смещение $\Delta l_ф$:

$\Delta l_ф = \frac{h \cdot \sin(\alpha - \beta_ф)}{\cos(\beta_ф)} = \frac{0,02 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ - 31,87^\circ)}{\cos(31,87^\circ)} = \frac{0,02 \cdot \sin(28,13^\circ)}{\cos(31,87^\circ)}$

$\Delta l_ф \approx \frac{0,02 \cdot 0,4714}{0,8492} \approx 0,01110 \text{ м} \approx 1,11 \text{ см}$

Ответ: смещение фиолетового луча составляет $\Delta l_ф \approx 1,11 \text{ см}$.