Номер 540, страница 161 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

540. Узкий пучок белого света падает из воздуха нормально на боковую грань прямой трехгранной стеклянной призмы с преломляющим углом $\varphi = 30^\circ$. Определите угол между крайними лучами света при выходе его из призмы, если абсолютные показатели преломления стекла для них равны $n_1 = 1,62$ и $n_2 = 1,67$.

Дано:

Преломляющий угол призмы: $\phi = 30^\circ$

Абсолютные показатели преломления стекла для крайних лучей: $n_1 = 1,62$; $n_2 = 1,67$

Показатель преломления воздуха: $n_{возд} \approx 1$

(Все данные являются безразмерными величинами или выражены во внесистемных единицах (градусы), поэтому перевод в систему СИ не требуется).

Найти:

Угол между крайними лучами света при выходе из призмы: $\Delta\delta$

Решение:

Поскольку узкий пучок белого света падает на боковую грань призмы нормально (перпендикулярно), угол падения на первой грани $\alpha_1 = 0^\circ$. Согласно закону преломления света, угол преломления $\beta_1$ также равен $0^\circ$. Это означает, что свет входит в призму без изменения направления.

Луч света распространяется внутри призмы и падает на вторую (преломляющую) грань. Из геометрии призмы следует, что угол падения на вторую грань $\alpha_2$ равен преломляющему углу призмы $\phi$.

$\alpha_2 = \phi = 30^\circ$

На второй грани луч преломляется, выходя из стекла в воздух. Вследствие явления дисперсии света, показатель преломления стекла зависит от длины волны (цвета). Для крайних лучей спектра даны показатели преломления $n_1$ и $n_2$.

Применим закон преломления Снеллиуса для каждого из крайних лучей на границе стекло-воздух:

$n_1 \sin \alpha_2 = n_{возд} \sin \beta_1'$

$n_2 \sin \alpha_2 = n_{возд} \sin \beta_2'$

где $\beta_1'$ и $\beta_2'$ – углы преломления для крайних лучей при выходе из призмы. Принимая показатель преломления воздуха $n_{возд} \approx 1$, получаем выражения для синусов углов выхода:

$\sin \beta_1' = n_1 \sin \phi$

$\sin \beta_2' = n_2 \sin \phi$

Искомый угол $\Delta\delta$ между крайними лучами света при выходе из призмы равен разности углов преломления $\beta_2'$ и $\beta_1'$:

$\Delta\delta = \beta_2' - \beta_1' = \arcsin(n_2 \sin \phi) - \arcsin(n_1 \sin \phi)$

Подставим числовые значения:

$\beta_1' = \arcsin(1,62 \cdot \sin 30^\circ) = \arcsin(1,62 \cdot 0,5) = \arcsin(0,81)$

$\beta_2' = \arcsin(1,67 \cdot \sin 30^\circ) = \arcsin(1,67 \cdot 0,5) = \arcsin(0,835)$

Вычислим значения углов:

$\beta_1' \approx 54,095^\circ$

$\beta_2' \approx 56,623^\circ$

Теперь найдем искомый угол:

$\Delta\delta = 56,623^\circ - 54,095^\circ \approx 2,528^\circ$

Округляя результат до сотых долей градуса, получаем $\Delta\delta \approx 2,53^\circ$.

Ответ: $2,53^\circ$.