Номер 543, страница 163 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

543. На рисунке 148 изображена тонкая рассеивающая линза, главная оптическая ось которой совпадает с горизонтальной осью $Ox$. Оптический центр $O$ линзы находится в начале координат, фокусное расстояние линзы равно $-F$. На главной оптической оси находится вертикальная стрелка $AB$. Приведите в соответствие свойства изображения стрелки, координату $x$ стрелки и координату $x'$ ее изображения. Обоснуйте свой ответ.

Рис. 148

Свойства изображения

1) Прямое

2) Перевернутое

3) Увеличенное

4) Уменьшенное

Координата стрелки

А) $x < 0$

Б) $x < -2F$

В) $-2F < x < -F$

Г) $-F < x < 0$

Д) $0 < x < F$

Е) $F < x < 2F$

Ж) Нельзя получить изображение

Координата изображения

а) $x' < 0$

б) $x' < -2F$

в) $-2F < x' < -F$

г) $-F < x' < 0$

д) $0 < x' < F$

е) $F < x' < 2F$

ж) $x' > 2F$

з) $x' > 0$

и) Нельзя получить изображение

Дано:

Тонкая рассеивающая линза.

Оптический центр $O$ в начале координат ($x=0$).

Главная оптическая ось совпадает с осью $Ox$.

Фокусное расстояние $F_{линзы} = -F$ (где $F > 0$ - модуль фокусного расстояния).

Предмет (стрелка AB) — действительный, расположен слева от линзы.

Координата предмета — $x$.

Координата изображения — $x'$.

Найти:

Установить соответствие между свойствами изображения, координатой стрелки $x$ и координатой изображения $x'$.

Решение:

Для определения характеристик изображения воспользуемся формулой тонкой линзы в координатной форме и формулой для линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{x'} - \frac{1}{x} = \frac{1}{F_{линзы}} $.

По условию, линза рассеивающая, поэтому ее фокусное расстояние отрицательно: $ F_{линзы} = -F $. Предмет является действительным, он находится слева от линзы, поэтому его координата $x < 0$.

Подставим $F_{линзы} = -F$ в формулу линзы:

$ \frac{1}{x'} - \frac{1}{x} = -\frac{1}{F} $

Из этой формулы выразим координату изображения $x'$:

$ \frac{1}{x'} = \frac{1}{x} - \frac{1}{F} = \frac{F-x}{xF} \implies x' = \frac{xF}{F-x} $

Линейное увеличение линзы $M$ определяется по формуле $ M = \frac{x'}{x} $. Подставив в нее полученное выражение для $x'$, найдем:

$ M = \frac{1}{x} \cdot \frac{xF}{F-x} = \frac{F}{F-x} $

Теперь проанализируем каждое свойство изображения для действительного предмета ($x < 0$).

1) Прямое

Изображение является прямым, если его увеличение $M > 0$. В нашем случае $M = \frac{F}{F-x}$. Поскольку $F > 0$ и $x < 0$, знаменатель $F-x$ всегда положителен ($F-x > F > 0$). Числитель $F$ также положителен. Следовательно, увеличение $M$ всегда положительно для любого действительного предмета. Это означает, что рассеивающая линза всегда дает прямое изображение действительного предмета. Условию, что предмет действительный, соответствует координата $x < 0$ (вариант А).Найдем диапазон для координаты изображения $x' = \frac{xF}{F-x}$. Так как $x < 0$ и $F > 0$, числитель $xF < 0$. Знаменатель $F-x > 0$. Значит, $x'$ всегда отрицательно ($x'<0$). Рассмотрим предельные случаи: если предмет находится бесконечно далеко от линзы ($x \to -\infty$), то $x' \to -F$; если предмет находится вплотную к линзе ($x \to 0^-$), то $x' \to 0$. Таким образом, координата изображения всегда находится в интервале $-F < x' < 0$ (вариант г).

Ответ: 1-А-г.

2) Перевернутое

Изображение является перевернутым, если его увеличение $M < 0$. Как было показано выше, для действительного предмета ($x < 0$) увеличение $M = \frac{F}{F-x}$ всегда положительно. Следовательно, получить перевернутое изображение действительного предмета с помощью рассеивающей линзы невозможно. Это соответствует варианту Ж) для координаты стрелки и и) для координаты изображения.

Ответ: 2-Ж-и.

3) Увеличенное

Изображение является увеличенным, если модуль его увеличения $|M| > 1$. Для действительного предмета ($x < 0$) увеличение $M = \frac{F}{F-x}$. Так как $M > 0$, то $|M|=M$. Знаменатель $F-x$ при $x < 0$ всегда больше числителя $F$, поскольку $F-x = F + |x| > F$. Следовательно, дробь $M = \frac{F}{F-x}$ всегда меньше 1. Это означает, что изображение всегда уменьшенное. Получить увеличенное изображение действительного предмета с помощью рассеивающей линзы невозможно.

Ответ: 3-Ж-и.

4) Уменьшенное

Изображение является уменьшенным, если модуль его увеличения $|M| < 1$. Как было показано в пункте 3, для любого действительного предмета ($x < 0$) увеличение $M = \frac{F}{F-x}$ всегда удовлетворяет условию $0 < M < 1$. Следовательно, рассеивающая линза всегда дает уменьшенное изображение действительного предмета. Условие, что предмет действительный, соответствует координате $x < 0$ (вариант А). Как было показано в пункте 1, для $x < 0$ координата изображения $x'$ находится в интервале $-F < x' < 0$ (вариант г).

Ответ: 4-А-г.