Номер 550, страница 167 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

550. На рисунке 155 изображена главная оптическая ось $O'O'$ тонкой линзы. Световой луч $a$ после преломления в линзе проходит через точку 5. Укажите номер точки, через которую пройдет луч $b$ после преломления в линзе.

Рис. 155

Решение

1. Для определения хода луча b после преломления в линзе, необходимо сначала найти характеристики самой линзы (ее положение и фокусное расстояние), используя данные о ходе луча a.

2. Введем систему координат. Пусть главная оптическая ось O'O' совпадает с осью абсцисс ($x$), а точки 1, 2, 3... имеют соответствующие координаты $x=1, x=2, x=3, ...$. Из рисунка видно, что падающие лучи a и b преломляются на одной и той же вертикальной плоскости. Эта плоскость проходит через точку 3, где и расположена тонкая линза. Оптический центр линзы $O$ находится на главной оптической оси, следовательно, его координаты $O(3, 0)$.

3. Падающий луч a выходит из точки $(1, 0)$. По сетке видно, что он достигает линзы в точке $P_a$ с координатами $(3, 2)$. Преломленный луч a' выходит из точки $P_a(3, 2)$ и пересекает главную оптическую ось в точке 5, то есть в точке с координатами $(5, 0)$. Так как луч после преломления отклоняется к главной оптической оси, линза является собирающей.

4. Чтобы найти фокусное расстояние линзы, воспользуемся свойством: параллельные лучи, падающие на линзу, после преломления пересекаются в одной точке, лежащей в фокальной плоскости. Лучи a и b параллельны друг другу (их тангенс угла наклона к оси $x$ равен 1, так как на 2 клетки по горизонтали приходится 2 клетки по вертикали для луча a, и на 1 клетку по горизонтали — 1 по вертикали для луча b).

5. Проведем вспомогательный луч, параллельный лучам a и b, который проходит через оптический центр линзы $O(3, 0)$. Этот луч не преломляется. Точка, в которой этот луч пересечется с преломленным лучом a', и будет точкой схождения всех лучей данного параллельного пучка. Эта точка $S$ лежит в фокальной плоскости.

• Уравнение вспомогательного луча, проходящего через $O(3, 0)$ с тангенсом угла наклона 1: $y = 1 \cdot (x - 3)$, то есть $y = x - 3$.

• Уравнение преломленного луча a', проходящего через точки $P_a(3, 2)$ и $(5, 0)$. Его тангенс угла наклона $k = \frac{0 - 2}{5 - 3} = -1$. Уравнение прямой: $y - 0 = -1(x - 5)$, то есть $y = -x + 5$.

• Найдем координаты точки их пересечения $S$, решив систему уравнений:

$y = x - 3$

$y = -x + 5$

Приравняем правые части: $x - 3 = -x + 5 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$. Тогда $y = 4 - 3 = 1$. Таким образом, точка $S$ имеет координаты $(4, 1)$.

6. Фокальная плоскость перпендикулярна главной оптической оси и проходит через точку $S(4, 1)$, следовательно, фокальная плоскость — это прямая $x=4$. Главный задний фокус линзы $F$ находится в точке пересечения фокальной плоскости и главной оптической оси, то есть в точке 4. Фокусное расстояние линзы $f = 4 - 3 = 1$ единичный отрезок.

7. Теперь рассмотрим ход луча b. Он выходит из точки 2 на главной оптической оси, то есть из точки с координатами $(2, 0)$. Найдем положение переднего фокуса линзы $F'$. Он расположен симметрично заднему фокусу относительно линзы, на расстоянии $f$ от нее. Координата $F'$ равна $x = 3 - f = 3 - 1 = 2$.

8. Получается, что падающий луч b выходит из переднего фокуса линзы $F'$. По правилу хода лучей в собирающей линзе, любой луч, вышедший из переднего фокуса, после преломления пойдет параллельно главной оптической оси.

9. Преломленный луч b' будет параллелен оси O'O'. Это означает, что он не пересечет главную оптическую ось ни в одной из пронумерованных точек (математически, пересечение происходит в бесконечности). В условии задачи, вероятно, допущена ошибка, так как оно предполагает наличие такой точки пересечения.

Ответ:

Согласно законам геометрической оптики, луч b после преломления в линзе будет распространяться параллельно главной оптической оси и не пересечет ее. Таким образом, он не пройдет ни через одну из пронумерованных точек.