Номер 538, страница 161 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

538. На плоскопараллельную пластину толщиной $h = 22 \text{ мм}$ падает луч белого света под углом $\alpha = 45^\circ$. Определите расстояние между точками выхода из пластины фиолетового и красного лучей, если абсолютный показатель преломления стекла для фиолетового света $n_\Phi = 1,52$, для красного света $n_\text{к} = 1,50$.

Дано:

$h = 22 \text{ мм}$

$\alpha = 45^\circ$

$n_\text{ф} = 1,52$

$n_\text{к} = 1,50$

$h = 22 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$\Delta x$ - расстояние между точками выхода фиолетового и красного лучей.

Решение:

При падении луча белого света на плоскопараллельную пластину происходит явление дисперсии — разложение света в спектр. Это связано с тем, что показатель преломления стекла зависит от длины волны света. Для фиолетового света ($n_ф$) он больше, чем для красного ($n_к$).

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$

Поскольку луч падает из воздуха, где показатель преломления $n_1 \approx 1$, закон принимает вид:

$\sin \alpha = n \sin \beta$

Отсюда угол преломления $\beta$ для каждого цвета будет своим.

Пусть луч падает на пластину в точке A. Пройдя через пластину толщиной $h$, фиолетовый и красный лучи выйдут из нее в разных точках $B_ф$ и $B_к$. Расстояние между этими точками по горизонтали можно найти, зная смещение каждого луча. Горизонтальное смещение луча при прохождении пластины определяется по формуле:

$x = h \cdot \tan\beta$

Требуется найти расстояние $\Delta x = |x_к - x_ф| = h \cdot |\tan\beta_к - \tan\beta_ф|$.

Выразим тангенс угла преломления $\tan\beta$ через угол падения $\alpha$ и показатель преломления $n$.

Из закона преломления: $\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n}$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, найдем $\cos\beta$:

$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{\sin^2\alpha}{n^2}} = \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}{n}$

Тогда тангенс угла преломления:

$\tan\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha / n}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha} / n} = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2\alpha}}$

Подставим данные и вычислим тангенсы углов преломления для фиолетового и красного лучей. Угол падения $\alpha = 45^\circ$, следовательно $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin^2\alpha = 0,5$.

Для красного луча ($n_к = 1,50$):

$\tan\beta_к = \frac{\sin 45^\circ}{\sqrt{n_к^2 - \sin^2 45^\circ}} = \frac{0,7071}{\sqrt{1,50^2 - 0,5}} = \frac{0,7071}{\sqrt{2,25 - 0,5}} = \frac{0,7071}{\sqrt{1,75}} \approx 0,5345$

Для фиолетового луча ($n_ф = 1,52$):

$\tan\beta_ф = \frac{\sin 45^\circ}{\sqrt{n_ф^2 - \sin^2 45^\circ}} = \frac{0,7071}{\sqrt{1,52^2 - 0,5}} = \frac{0,7071}{\sqrt{2,3104 - 0,5}} = \frac{0,7071}{\sqrt{1,8104}} \approx 0,5255$

Теперь найдем искомое расстояние между точками выхода лучей:

$\Delta x = h \cdot (\tan\beta_к - \tan\beta_ф) = 22 \text{ мм} \cdot (0,5345 - 0,5255) = 22 \text{ мм} \cdot 0,009 = 0,198 \text{ мм}$

Ответ: Расстояние между точками выхода фиолетового и красного лучей составляет примерно $0,198 \text{ мм}$.