Номер 537, страница 161 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

537. В воде один водолаз передает белый световой сигнал другому водолазу. Абсолютный показатель преломления воды для красных лучей $n_{\text{к}} = 1,329$, для фиолетовых — $n_{\text{ф}} = 1,344$. Определите, на каком расстоянии друг от друга находятся водолазы, если фиолетовые лучи достигают глаз водолаза позже красных лучей на промежуток времени $\Delta t = 1$ нс. Какой цвет света видит водолаз?

Дано:

Абсолютный показатель преломления воды для красных лучей $n_к = 1.329$

Абсолютный показатель преломления воды для фиолетовых лучей $n_ф = 1.344$

Задержка прихода фиолетовых лучей относительно красных $\Delta t = 1 \text{ нс}$

Перевод в СИ:

$\Delta t = 1 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Найти:

Расстояние между водолазами $L - ?$

Какой цвет света видит водолаз - ?

Решение:

Определите, на каком расстоянии друг от друга находятся водолазы

Скорость распространения света в среде с показателем преломления $n$ определяется по формуле $v = c/n$, где $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$ — скорость света в вакууме. Из-за явления дисперсии света в воде (зависимости показателя преломления от длины волны света), лучи разного цвета распространяются с разной скоростью.

Скорость красных лучей в воде: $v_к = c / n_к$.

Скорость фиолетовых лучей в воде: $v_ф = c / n_ф$.

Время, за которое красные и фиолетовые лучи проходят расстояние $L$ между водолазами, равно:

$t_к = L / v_к = (L \cdot n_к) / c$

$t_ф = L / v_ф = (L \cdot n_ф) / c$

По условию задачи, фиолетовые лучи приходят позже красных на промежуток времени $\Delta t$. Так как $n_ф > n_к$, то скорость фиолетового света меньше скорости красного ($v_ф < v_к$), и время его прохождения больше ($t_ф > t_к$). Разница во времени составляет:

$\Delta t = t_ф - t_к = (L \cdot n_ф / c) - (L \cdot n_к / c) = (L/c)(n_ф - n_к)$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $L$:

$L = (c \cdot \Delta t) / (n_ф - n_к)$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$L = (3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 1 \cdot 10^{-9} \text{ с}) / (1.344 - 1.329) = 0.3 \text{ м} / 0.015 = 20 \text{ м}$

Ответ: расстояние между водолазами составляет 20 м.

Какой цвет света видит водолаз?

Исходный световой сигнал — белый, то есть он является смесью всех цветов видимого спектра. Вследствие дисперсии света в воде, красный свет (с меньшим показателем преломления) распространяется с наибольшей скоростью и достигает наблюдателя первым. Фиолетовый свет (с наибольшим показателем преломления) распространяется с наименьшей скоростью и приходит последним. Остальные цвета спектра приходят в промежутке между ними.

Таким образом, световой импульс растягивается во времени, и цвета приходят последовательно. Однако, общая задержка между приходом первого (красного) и последнего (фиолетового) цвета составляет всего $\Delta t = 1 \text{ нс} = 10^{-9} \text{ с}$. Человеческий глаз обладает инерционностью зрения (способностью сохранять зрительное ощущение в течение примерно 0.1 с), и не может разрешать такие короткие временные интервалы. Поэтому все цвета, приходящие с задержкой в 1 нс, будут восприняты глазом как одновременные. В результате сложения всех цветовых компонент водолаз увидит исходный белый свет.

Ответ: водолаз видит белый свет.