Номер 542, страница 162 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

542. На рисунке 147 изображена тонкая собирающая линза, главная оптическая ось которой совпадает с горизонтальной осью $Ox$. Оптический центр $O$ линзы находится в начале координат, фокусное расстояние линзы равно $F$. На главной оптической оси находится вертикальная стрелка $AB$. Приведите в соответствие координату $x$ стрелки, координату $x'$ ее изображения, ориентацию изображения и знак отношения между высотой изображения и высотой стрелки. Обоснуйте свой ответ.

Координата стрелки

А) $-F < x < 0$;

Б) $-2F < x < -F$;

В) $x = -2F$;

Г) $x < -2F

Координата изображения

а) $x' < 0$;

б) $x' < -2F$;

в) $x' = -2F$;

г) $F < x' < 2F$;

д) $-2F < x' < -F$;

е) $x' = 2F$;

ж) $x' > 2F$;

з) $x' > 0

Ориентация изображения

1) Прямое.

2) Перевернутое

Знак отношения между высотой изображения и высотой стрелки

I) $<$

II) $=$

III) $>$

Дано:

Тонкая собирающая линза

Фокусное расстояние: $F$

Координата предмета: $x$

Координата изображения: $x'$

Найти:

Соответствие между координатой стрелки, координатой ее изображения, ориентацией изображения и знаком отношения между высотой изображения и высотой стрелки.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы, записанной в координатной форме, где начало координат совпадает с оптическим центром линзы, а ось $Ox$ — с главной оптической осью:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{x'} - \frac{1}{x}$

Из этой формулы выразим координату изображения $x'$:

$\frac{1}{x'} = \frac{1}{F} + \frac{1}{x} = \frac{x+F}{xF}$

$x' = \frac{xF}{x+F}$

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ определяется как отношение высоты изображения $h'$ к высоте предмета $h$ и также может быть выражено через координаты:

$\Gamma = \frac{h'}{h} = \frac{x'}{x}$

Из этой формулы следует:

• Если $\Gamma > 0$, изображение прямое.
• Если $\Gamma < 0$, изображение перевернутое.

Знак отношения между высотой изображения и высотой стрелки в таблице (I, II, III) соответствует сравнению их абсолютных величин, то есть $|\Gamma| = |\frac{h'}{h}|$.

• Если $|\Gamma| < 1$, то изображение уменьшенное (соответствует знаку I) <).
• Если $|\Gamma| = 1$, то изображение равновеликое (соответствует знаку II) =).
• Если $|\Gamma| > 1$, то изображение увеличенное (соответствует знаку III) >).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

А) $-F < x < 0$

Предмет находится между фокусом и оптическим центром линзы.

1. Координата изображения $x'$:

$x' = \frac{xF}{x+F}$

Поскольку $x < 0$ и $F > 0$, числитель $xF$ отрицателен. Поскольку $x > -F$, знаменатель $x+F$ положителен. Следовательно, $x'$ отрицательно ($x' < 0$). Изображение мнимое, расположено с той же стороны от линзы, что и предмет. Это соответствует варианту а) $x' < 0$.

2. Ориентация изображения:

$\Gamma = \frac{x'}{x}$

Так как и $x < 0$, и $x' < 0$, то их отношение $\Gamma$ положительно. Изображение прямое. Это соответствует варианту 1) Прямое.

3. Знак отношения высот:

$|\Gamma| = |\frac{x'}{x}| = |\frac{xF/(x+F)}{x}| = |\frac{F}{x+F}|$

Из условия $-F < x < 0$ следует, что $0 < x+F < F$. Поэтому $|\Gamma| = \frac{F}{x+F} > 1$. Изображение увеличенное. Это соответствует варианту III) >.

Ответ: А — а, 1, III.

Б) $-2F < x < -F$

Предмет находится между двойным и главным фокусом.

1. Координата изображения $x'$:

$x' = \frac{xF}{x+F}$

Числитель $xF$ отрицателен. Поскольку $x < -F$, знаменатель $x+F$ также отрицателен. Следовательно, $x'$ положителен ($x' > 0$). Изображение действительное. Проверим границы: при $x \to -F$ (слева), $x' \to +\infty$. При $x = -2F$, $x' = \frac{-2F \cdot F}{-2F+F} = 2F$. Таким образом, при $-2F < x < -F$ координата изображения $x' > 2F$. Это соответствует варианту ж) $x' > 2F$.

2. Ориентация изображения:

$\Gamma = \frac{x'}{x}$

Так как $x' > 0$ и $x < 0$, то $\Gamma$ отрицательно. Изображение перевернутое. Это соответствует варианту 2) Перевернутое.

3. Знак отношения высот:

$|\Gamma| = |\frac{F}{x+F}|$

Из условия $-2F < x < -F$ следует, что $-F < x+F < 0$. Значит, $0 < |x+F| < F$. Поэтому $|\Gamma| = \frac{F}{|x+F|} > 1$. Изображение увеличенное. Это соответствует варианту III) >.

Ответ: Б — ж, 2, III.

В) $x = -2F$

Предмет находится в точке двойного фокуса.

1. Координата изображения $x'$:

$x' = \frac{(-2F)F}{-2F+F} = \frac{-2F^2}{-F} = 2F$

Изображение действительное и находится в точке $x' = 2F$. Это соответствует варианту е) $x' = 2F$.

2. Ориентация изображения:

$\Gamma = \frac{x'}{x} = \frac{2F}{-2F} = -1$

Так как $\Gamma = -1$, изображение перевернутое. Это соответствует варианту 2) Перевернутое.

3. Знак отношения высот:

$|\Gamma| = |-1| = 1$. Изображение по размеру равно предмету. Это соответствует варианту II) =.

Ответ: В — е, 2, II.

Г) $x < -2F$

Предмет находится за двойным фокусом.

1. Координата изображения $x'$:

$x' = \frac{xF}{x+F}$

Числитель $xF$ отрицателен. Знаменатель $x+F$ также отрицателен (т.к. $x < -2F$). Следовательно, $x'$ положителен. Изображение действительное. Проверим границы: при $x = -2F$, $x' = 2F$. При $x \to -\infty$, $x' = \frac{F}{1+F/x} \to F$. Таким образом, при $x < -2F$ координата изображения находится в интервале $F < x' < 2F$. Это соответствует варианту г) $F < x' < 2F$.

2. Ориентация изображения:

$\Gamma = \frac{x'}{x}$

Так как $x' > 0$ и $x < 0$, то $\Gamma$ отрицательно. Изображение перевернутое. Это соответствует варианту 2) Перевернутое.

3. Знак отношения высот:

$|\Gamma| = |\frac{F}{x+F}|$

Из условия $x < -2F$ следует, что $x+F < -F$. Значит, $|x+F| > F$. Поэтому $|\Gamma| = \frac{F}{|x+F|} < 1$. Изображение уменьшенное. Это соответствует варианту I) <.

Ответ: Г — г, 2, I.