Номер 857, страница 247 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

857. Поглотив фотон с энергией $E_{13}$, атом водорода перешел с первого энергетического уровня на третий. При возвращении в исходное состояние атом сначала перешел с третьего уровня на второй, испустив фотон с энергией $E_{32}$, а затем — со второго на первый, испустив фотон с энергией $E_{21}$. Сравните энергии $E_{13}$, $E_{32}$ и $E_{21}$.

Решение

В соответствии с постулатами Бора, при переходе атома из одного стационарного состояния в другое излучается или поглощается квант электромагнитной энергии (фотон). Энергия этого фотона равна модулю разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается переход.

Обозначим энергию первого, второго и третьего энергетических уровней атома водорода как $E_1$, $E_2$ и $E_3$ соответственно. Энергетические уровни нумеруются от основного состояния ($n=1$), и с ростом номера уровня его энергия увеличивается: $E_1 < E_2 < E_3$.

1. При переходе с первого уровня на третий атом поглощает фотон с энергией $E_{13}$. Эта энергия равна разности энергий третьего и первого уровней:

$E_{13} = E_3 - E_1$

2. При возвращении в исходное состояние атом совершает два перехода, излучая фотоны:

а) Переход с третьего уровня на второй, излучается фотон с энергией $E_{32}$:

$E_{32} = E_3 - E_2$

б) Переход со второго уровня на первый, излучается фотон с энергией $E_{21}$:

$E_{21} = E_2 - E_1$

3. Теперь сравним эти энергии. Сложим энергии двух излучённых фотонов:

$E_{32} + E_{21} = (E_3 - E_2) + (E_2 - E_1) = E_3 - E_2 + E_2 - E_1 = E_3 - E_1$

Сравнивая полученный результат с выражением для $E_{13}$, мы видим, что:

$E_{13} = E_{32} + E_{21}$

Это соотношение выражает закон сохранения энергии: энергия, поглощенная атомом для перехода в возбужденное состояние, равна суммарной энергии, которую он излучает при возвращении в основное состояние. Так как энергии $E_{32}$ и $E_{21}$ являются положительными величинами, из этого равенства следует, что $E_{13}$ — наибольшая из трёх энергий:

$E_{13} > E_{32}$ и $E_{13} > E_{21}$

4. Для сравнения энергий $E_{32}$ и $E_{21}$ воспользуемся формулой для энергетических уровней атома водорода:

$E_n = - \frac{R}{n^2}$

где $R$ — постоянная Ридберга, $n$ — главное квантовое число. Тогда:

$E_{21} = E_2 - E_1 = \left(-\frac{R}{2^2}\right) - \left(-\frac{R}{1^2}\right) = R \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}R$

$E_{32} = E_3 - E_2 = \left(-\frac{R}{3^2}\right) - \left(-\frac{R}{2^2}\right) = R \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R \cdot \left(\frac{9-4}{36}\right) = \frac{5}{36}R$

Сравним дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{36}$. Приведем $\frac{3}{4}$ к знаменателю 36: $\frac{3}{4} = \frac{27}{36}$.

Так как $\frac{27}{36} > \frac{5}{36}$, то $E_{21} > E_{32}$.

Это означает, что разность энергий между первым и вторым уровнями больше, чем между вторым и третьим. С увеличением номера уровня энергетические уровни сближаются.

Ответ: Энергия поглощенного фотона равна сумме энергий излучённых фотонов: $E_{13} = E_{21} + E_{32}$. Отсюда следует, что $E_{13}$ — наибольшая энергия. Сравнение энергий излучённых фотонов показывает, что $E_{21} > E_{32}$. Таким образом, энергии соотносятся следующим образом: $E_{13} > E_{21} > E_{32}$.