Номер 850, страница 244 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

850. *На плоское круглое зеркало радиусом $r = 3,5 \text{ см}$ нормально падает лазерное излучение. Вся поверхность зеркала однородно освещена. Определите длину волны лазерного излучения, если за промежуток времени $\Delta t = 3,0 \text{ с}$ на зеркало падает $N = 3,0 \cdot 10^{19}$ фотонов, которые оказывают на плоскость зеркала давление $p = 6,0 \text{ мкПа}$. При этом $R = 90 \, \%$ падающих на зеркало фотонов отражается от него, а остальные поглощаются.

Дано:

$r = 3,5 \text{ см} = 3,5 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$\Delta t = 3,0 \text{ с}$

$N = 3,0 \cdot 10^{19}$

$p = 6,0 \text{ мкПа} = 6,0 \cdot 10^{-6} \text{ Па}$

$R = 90 \% = 0,9$

Постоянная Планка $h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Найти:

$\lambda$ - ?

Решение:

Давление света $p$ определяется как отношение силы давления $F$ к площади поверхности $S$, на которую эта сила действует: $p = F/S$.

Сила, с которой свет действует на зеркало, равна $F = pS$. Площадь круглого зеркала вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, сила равна скорости изменения полного импульса системы. В данном случае, сила, действующая на зеркало, равна полному импульсу, переданному зеркалу всеми фотонами за промежуток времени $\Delta t$, деленному на этот промежуток: $F = \frac{\Delta P_{total}}{\Delta t}$.

Импульс одного фотона определяется его длиной волны $\lambda$: $p_{ph} = \frac{h}{\lambda}$.

За время $\Delta t$ на зеркало падает $N$ фотонов. Часть из них, $N_{refl} = N \cdot R$, отражается, а остальные, $N_{abs} = N \cdot (1 - R)$, поглощаются.

При нормальном падении и упругом отражении фотона, его импульс меняет направление на противоположное. Изменение импульса одного отраженного фотона составляет: $\Delta p_{refl} = p_{ph} - (-p_{ph}) = 2p_{ph} = \frac{2h}{\lambda}$.

При поглощении фотон полностью передает свой импульс зеркалу. Изменение импульса одного поглощенного фотона равно: $\Delta p_{abs} = p_{ph} - 0 = p_{ph} = \frac{h}{\lambda}$.

Суммарный импульс, переданный зеркалу всеми фотонами за время $\Delta t$, равен сумме импульсов от отраженных и поглощенных фотонов:

$\Delta P_{total} = N_{refl} \cdot \Delta p_{refl} + N_{abs} \cdot \Delta p_{abs} = (N \cdot R) \cdot \frac{2h}{\lambda} + (N \cdot (1-R)) \cdot \frac{h}{\lambda}$

Вынесем общие множители за скобку:

$\Delta P_{total} = \frac{Nh}{\lambda} (2R + 1 - R) = \frac{Nh(1+R)}{\lambda}$

Теперь приравняем два выражения для силы $F$:

$pS = \frac{\Delta P_{total}}{\Delta t}$

$p \pi r^2 = \frac{Nh(1+R)}{\lambda \Delta t}$

Из этого соотношения выразим искомую длину волны $\lambda$:

$\lambda = \frac{Nh(1+R)}{p \pi r^2 \Delta t}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$\lambda = \frac{3,0 \cdot 10^{19} \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \cdot (1+0,9)}{6,0 \cdot 10^{-6} \text{ Па} \cdot 3,14 \cdot (3,5 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2 \cdot 3,0 \text{ с}}$

$\lambda = \frac{3,0 \cdot 10^{19} \cdot 6,63 \cdot 10^{-34} \cdot 1,9}{6,0 \cdot 10^{-6} \cdot 3,14 \cdot 12,25 \cdot 10^{-4} \cdot 3,0} \approx \frac{37,79 \cdot 10^{-15}}{69,24 \cdot 10^{-10}} \approx 0,546 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Переведем результат в нанометры:

$\lambda = 5,46 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 546 \text{ нм}$

Ответ: $\lambda = 546 \text{ нм}$.