Номер 422, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

422. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$, основание — $b$, а высота, проведенная к основанию, — $h$. Выразите радиус окружности, описанной около треугольника, через каждые две из трех данных переменных.

Пусть дан равнобедренный треугольник со сторонами $a, a$ и основанием $b$. Высота, проведенная к основанию, равна $h$, а радиус описанной окружности — $R$.

Высота $h$, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также медианой. Она делит основание $b$ на два равных отрезка длиной $\frac{b}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $a$, высотой $h$ и половиной основания $\frac{b}{2}$. По теореме Пифагора, эти три величины связаны соотношением:

$a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2$ или $a^2 = h^2 + \frac{b^2}{4}$.

Это соотношение мы будем использовать для связи переменных $a, b$ и $h$. Общая формула для радиуса описанной окружности $R$ для треугольника со сторонами $x, y, z$ и площадью $S$ имеет вид:

$R = \frac{xyz}{4S}$

Для нашего случая стороны равны $a, a, b$, а площадь $S = \frac{1}{2}bh$. Подставив эти значения, получаем:

$R = \frac{a \cdot a \cdot b}{4 \cdot (\frac{1}{2}bh)} = \frac{a^2b}{2bh} = \frac{a^2}{2h}$

Теперь выразим радиус через каждую пару переменных.

1. Выражение радиуса R через боковую сторону a и основание b.

Мы имеем формулу $R = \frac{a^2}{2h}$, но нам нужно исключить из нее высоту $h$. Из основного соотношения $a^2 = h^2 + \frac{b^2}{4}$ выразим $h$:

$h^2 = a^2 - \frac{b^2}{4} = \frac{4a^2 - b^2}{4}$

$h = \sqrt{\frac{4a^2 - b^2}{4}} = \frac{\sqrt{4a^2 - b^2}}{2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу для радиуса:

$R = \frac{a^2}{2h} = \frac{a^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{4a^2 - b^2}}{2}} = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$

Ответ: $R = \frac{a^2}{\sqrt{4a^2 - b^2}}$

2. Выражение радиуса R через боковую сторону a и высоту h.

Как было выведено выше из общих формул, радиус описанной окружности напрямую связан с боковой стороной и высотой к основанию:

$R = \frac{a^2b}{4S}$ и $S = \frac{1}{2}bh$.

Подстановка дает:

$R = \frac{a^2b}{4 \cdot (\frac{1}{2}bh)} = \frac{a^2b}{2bh} = \frac{a^2}{2h}$

Это выражение уже зависит только от $a$ и $h$, что и требовалось.

Ответ: $R = \frac{a^2}{2h}$

3. Выражение радиуса R через основание b и высоту h.

Воспользуемся формулой, полученной в предыдущем пункте: $R = \frac{a^2}{2h}$. Нам нужно исключить из нее боковую сторону $a$. Из основного соотношения $a^2 = h^2 + (\frac{b}{2})^2$ мы имеем готовое выражение для $a^2$:

$a^2 = h^2 + \frac{b^2}{4}$

Подставим это выражение для $a^2$ в формулу для радиуса:

$R = \frac{h^2 + \frac{b^2}{4}}{2h} = \frac{\frac{4h^2 + b^2}{4}}{2h} = \frac{4h^2 + b^2}{8h}$

Ответ: $R = \frac{4h^2 + b^2}{8h}$