Номер 424, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

424. Центры двух окружностей с радиусами $r$ и $R$ удалены на $d$. Найдите расстояние между точками касания их:

а) внешней касательной;

б) внутренней касательной.

а) внешней касательной

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры двух окружностей, $R$ и $r$ — их радиусы (для определенности пусть $R \ge r$), а $d$ — расстояние между центрами, то есть длина отрезка $O_1O_2 = d$. Пусть $AB$ — их общая внешняя касательная, где $A$ и $B$ — точки касания на окружностях с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно. Необходимо найти длину отрезка $AB$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Из этого следует, что радиусы $O_1A$ и $O_2B$ параллельны друг другу. Таким образом, фигура $O_1ABO_2$ представляет собой прямоугольную трапецию с основаниями $O_1A = R$ и $O_2B = r$.

Для нахождения длины $AB$ применим следующий прием: проведем из центра меньшей окружности $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$. Пусть эта прямая пересекает радиус $O_1A$ в точке $C$. Полученный четырехугольник $CABO_2$ является прямоугольником, поскольку его противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CO_2$ и $AC \parallel BO_2$) и углы при вершинах $A$ и $B$ прямые. Следовательно, длина искомого отрезка $AB$ равна длине стороны $CO_2$, а длина $AC$ равна радиусу $r$.

Рассмотрим треугольник $O_1CO_2$. Этот треугольник является прямоугольным, так как $O_1C \perp CO_2$ (поскольку $O_1A \perp AB$ и $CO_2 \parallel AB$). Гипотенуза этого треугольника — это отрезок, соединяющий центры окружностей, $O_1O_2 = d$. Катеты этого треугольника: $CO_2$, длина которого равна искомой длине $AB$, и $O_1C$, длина которого равна разности радиусов: $O_1C = O_1A - AC = R - r$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$
$d^2 = (R - r)^2 + (AB)^2$

Из этого уравнения выразим длину $AB$:
$(AB)^2 = d^2 - (R - r)^2$
$AB = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$

Ответ: $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$

б) внутренней касательной

Рассмотрим тот же случай с двумя окружностями с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусами $R$ и $r$, и расстоянием между центрами $d$. Пусть $AB$ — их общая внутренняя касательная, где $A$ и $B$ — точки касания. В этом случае центры окружностей находятся по разные стороны от касательной.

Как и в предыдущем случае, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Следовательно, $O_1A \parallel O_2B$.

Для решения задачи проведем из центра $O_2$ прямую, параллельную касательной $AB$. Пусть эта прямая пересекает продолжение радиуса $O_1A$ за точку $A$ в некоторой точке $C$. Четырехугольник $ABO_2C$ является прямоугольником, так как $AB \parallel CO_2$, $AC \parallel BO_2$ и углы при $A$ и $B$ прямые. Из этого следует, что искомая длина $AB = CO_2$ и $AC = O_2B = r$.

Теперь рассмотрим треугольник $O_1CO_2$. Он прямоугольный с прямым углом при вершине $C$ ($O_1C \perp CO_2$). Его гипотенуза — это отрезок $O_1O_2$ длиной $d$. Катеты этого треугольника: $CO_2$, длина которого равна $AB$, и $O_1C$. Длина катета $O_1C$ в данном случае равна сумме радиусов: $O_1C = O_1A + AC = R + r$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $O_1CO_2$:
$(O_1O_2)^2 = (O_1C)^2 + (CO_2)^2$
$d^2 = (R + r)^2 + (AB)^2$

Выразим искомую длину $AB$:
$(AB)^2 = d^2 - (R + r)^2$
$AB = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$

Ответ: $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$