Номер 420, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

420. Установите, как два круга с радиусами $r$ и $3r$ расположены относительно друг друга, учитывая, что их центры отстоят на:

а) $r$;

б) $2r$;

в) $3r$;

г) $4r$;

д) $5r$.

Для определения взаимного расположения двух кругов необходимо сравнить расстояние между их центрами, обозначим его как $d$, с суммой и разностью их радиусов. В данной задаче радиусы кругов равны $r_1 = r$ и $r_2 = 3r$.

Вычислим сумму и разность радиусов:

• Сумма радиусов: $r_1 + r_2 = r + 3r = 4r$. Если $d = r_1 + r_2$, круги касаются внешним образом. Если $d > r_1 + r_2$, круги не пересекаются и лежат один вне другого.
• Разность радиусов: $|r_1 - r_2| = |r - 3r| = 2r$. Если $d = |r_1 - r_2|$, круги касаются внутренним образом. Если $d < |r_1 - r_2|$, один круг лежит внутри другого, не касаясь его.
• Если $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, круги пересекаются в двух точках.

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Расстояние между центрами $d = r$.
Сравниваем $d$ с разностью радиусов: $r < 2r$.
Так как расстояние между центрами меньше разности радиусов ($d < |r_1 - r_2|$), то меньший круг полностью находится внутри большего и не касается его.
Ответ: один круг находится внутри другого.

б) Расстояние между центрами $d = 2r$.
Сравниваем $d$ с разностью радиусов: $2r = 2r$.
Так как расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = |r_1 - r_2|$), то круги касаются внутренним образом.
Ответ: круги касаются внутренним образом.

в) Расстояние между центрами $d = 3r$.
Сравниваем $d$ с суммой и разностью радиусов: $2r < 3r < 4r$.
Так как расстояние между центрами больше разности, но меньше суммы радиусов ($|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$), то круги пересекаются в двух точках.
Ответ: круги пересекаются.

г) Расстояние между центрами $d = 4r$.
Сравниваем $d$ с суммой радиусов: $4r = 4r$.
Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = r_1 + r_2$), то круги касаются внешним образом.
Ответ: круги касаются внешним образом.

д) Расстояние между центрами $d = 5r$.
Сравниваем $d$ с суммой радиусов: $5r > 4r$.
Так как расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > r_1 + r_2$), то круги не имеют общих точек и расположены один вне другого.
Ответ: круги не пересекаются.