Номер 415, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

415. Стороны треугольника равны $a, b, c$. Найдите:

а) радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $a$ (рис. 302);

б) расстояние от вершины $A$ до точек касания вписанной окружности и стороны $AB$ треугольника (рис. 303);

в) расстояние от вершины $A$ до точек касания противолежащей вневписанной окружности и прямых, содержащих стороны треугольника (рис. 304).

а) радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a

Пусть $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Радиус $r_a$ вневписанной окружности, касающейся стороны $a$, связан с площадью треугольника $S$. Центр этой окружности, $O_a$, является точкой пересечения биссектрисы угла $A$ и внешних биссектрис углов $B$ и $C$. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через площади треугольников, образованных его вершинами и центром $O_a$:

$S_{ABC} = S_{ABO_a} + S_{ACO_a} - S_{BCO_a}$

Высоты этих треугольников, проведенные из вершины $O_a$ к сторонам (или их продолжениям), равны радиусу $r_a$. Таким образом:

$S = \frac{1}{2}c \cdot r_a + \frac{1}{2}b \cdot r_a - \frac{1}{2}a \cdot r_a = \frac{1}{2}(b+c-a)r_a$

Выразим скобку $(b+c-a)$ через полупериметр $p$:

$b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$

Подставим это выражение в формулу для площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 2(p-a) \cdot r_a = (p-a)r_a$

Отсюда находим радиус $r_a$:

$r_a = \frac{S}{p-a}$

Для выражения радиуса только через стороны $a, b, c$, можно использовать формулу Герона для площади $S$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Тогда формула для радиуса примет вид:

$r_a = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p-a}$

Ответ: $r_a = \frac{S}{p-a}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ — его полупериметр. Используя формулу Герона, $r_a = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p-a}$.

б) расстояния от вершины A до точек касания вписанной окружности и стороны AB треугольника

Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Требуется найти расстояние от вершины $A$ до точки касания на стороне $AB$ (длина $AP$) и на стороне $AC$ (длина $AR$).

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, длины этих отрезков равны: $AP = AR$. Обозначим эту длину как $x$. Аналогично, для других вершин: $BP = BQ = y$ и $CR = CQ = z$.

Стороны треугольника можно выразить через эти отрезки:

$c = AB = AP + PB = x+y$

$a = BC = BQ + QC = y+z$

$b = AC = AR + RC = x+z$

Сложив эти три равенства, получим:

$a+b+c = (y+z) + (x+z) + (x+y) = 2(x+y+z)$

$x+y+z = \frac{a+b+c}{2} = p$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Чтобы найти $x$, вычтем из равенства $x+y+z = p$ равенство $y+z=a$:

$x = (x+y+z) - (y+z) = p-a$

Таким образом, искомые расстояния $AP$ и $AR$ равны $p-a$.

Ответ: $p-a$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

в) расстояния от вершины A до точек касания противолежащей вневписанной окружности и прямых, содержащих стороны треугольника

Пусть вневписанная окружность, противолежащая вершине $A$ (т.е. касающаяся стороны $BC=a$), касается продолжений сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется найти расстояния от вершины $A$ до точек касания $M$ и $N$, то есть длины отрезков $AM$ и $AN$.

По свойству касательных, проведенных из одной точки ($A$) к окружности, длины отрезков $AM$ и $AN$ равны: $AM = AN$.

Рассмотрим сумму длин этих отрезков. Точка $M$ лежит на продолжении стороны $AB$, а точка $N$ — на продолжении стороны $AC$.

$AM = AB + BM = c + BM$

$AN = AC + CN = b + CN$

По свойству касательных, проведенных из точек $B$ и $C$ к той же окружности, имеем: $BM=BK$ и $CN=CK$, где $K$ — точка касания окружности со стороной $BC$.

Сложим длины отрезков $AM$ и $AN$:

$AM + AN = (c + BM) + (b + CN) = b+c+BM+CN$

Заменим $BM$ на $BK$ и $CN$ на $CK$:

$AM + AN = b+c+BK+CK$

Сумма $BK+CK$ равна длине стороны $BC$, то есть $a$:

$AM + AN = a+b+c$

Выражение $a+b+c$ является периметром треугольника, который равен $2p$, где $p$ — полупериметр.

$AM + AN = 2p$

Поскольку $AM = AN$, мы можем записать:

$2 \cdot AM = 2p$

$AM = p$

Следовательно, искомые расстояния $AM$ и $AN$ равны полупериметру треугольника.

Ответ: $p$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.