Номер 409, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

409. Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, выходящих из той же вершины, что и биссектриса, уменьшенному на произведение отрезков, на которые основание биссектрисы делит противоположную сторону.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Для доказательства утверждения используем метод, связанный с описанной окружностью.

Доказательство:

1. Опишем окружность около треугольника $ABC$. Продлим биссектрису $AD$ до пересечения с этой окружностью в точке $E$. Соединим точки $E$ и $C$ отрезком.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle AEC$. У них есть две пары равных углов:
- $\angle BAD = \angle EAC$, так как $AE$ – биссектриса угла $\angle A$.
- $\angle ABD = \angle AEC$, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AC$.
Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $\triangle ABD \sim \triangle AEC$.

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC} $$ Из этой пропорции следует равенство произведений: $$ AB \cdot AC = AD \cdot AE $$

4. Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AE$, то длину $AE$ можно представить как сумму длин $AD$ и $DE$, то есть $AE = AD + DE$. Подставим это в равенство из предыдущего шага: $$ AB \cdot AC = AD \cdot (AD + DE) = AD^2 + AD \cdot DE $$

5. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BDE$. У них также есть две пары равных углов:
- $\angle CAD = \angle CBE$ (или $\angle CAE = \angle CBE$), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $CE$.
- $\angle ACD = \angle AEB$ (или $\angle ACB = \angle DEB$), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $AB$.
Следовательно, по признаку подобия по двум углам, $\triangle ADC \sim \triangle BDE$.

6. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность сторон: $$ \frac{AD}{BD} = \frac{DC}{DE} $$ Отсюда получаем, что $AD \cdot DE = BD \cdot DC$. (Этот же результат можно получить, применив теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд $AE$ и $BC$ в точке $D$.)

7. Подставим полученное равенство $AD \cdot DE = BD \cdot DC$ в равенство из шага 4: $$ AB \cdot AC = AD^2 + BD \cdot DC $$ Выразим из этого равенства квадрат биссектрисы $AD^2$: $$ AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, выходящих из той же вершины, что и биссектриса, уменьшенному на произведение отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону.