Номер 405, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

405. Определите, к какой стороне треугольника ближе расположена точка пересечения:

а) серединных перпендикуляров сторон треугольника;

б) высот треугольника;

в) медиан треугольника.

а) серединных перпендикуляров сторон треугольника;

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр описанной окружности (обозначим его O). Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника. Расстояние от центра описанной окружности до любой вершины равно радиусу этой окружности R.

Рассмотрим расстояние от точки O до сторон треугольника. Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$, $c$, а противолежащие им углы равны $A$, $B$, $C$.

Расстояние от центра O до стороны $a$ (стороны BC) можно найти, рассмотрев равнобедренный треугольник OBC (так как OB = OC = R). Высота этого треугольника, опущенная из вершины O на сторону BC, и есть искомое расстояние. Обозначим это расстояние $d_a$.

Можно доказать, что расстояние от центра описанной окружности до стороны вычисляется по формуле $d = R |\cos \alpha|$, где $\alpha$ — угол, противолежащий этой стороне. Таким образом, расстояния до сторон $a$, $b$ и $c$ равны: $d_a = R |\cos A|$ $d_b = R |\cos B|$ $d_c = R |\cos C|$

Чтобы найти, к какой стороне точка O расположена ближе, нужно найти наименьшее из этих расстояний. Это эквивалентно нахождению наименьшего значения из $|\cos A|$, $|\cos B|$, $|\cos C|$.

В любом треугольнике наибольший угол лежит против наибольшей стороны. Пусть $a$ — наибольшая сторона, тогда $A$ — наибольший угол.

• Если треугольник остроугольный, то $A$ — наибольший из острых углов, следовательно, $\cos A$ будет наименьшим положительным значением.
• Если треугольник тупоугольный, то $A$ — тупой угол, и он является наибольшим углом. Можно показать, что $|\cos A|$ все равно будет меньше, чем $|\cos B|$ и $|\cos C|$.

В обоих случаях наименьшее расстояние будет до той стороны, которой противолежит наибольший угол. А наибольший угол лежит против наибольшей стороны.

Вывод: точка пересечения серединных перпендикуляров ближе всего расположена к наибольшей стороне треугольника.

Ответ: к наибольшей стороне.

б) высот треугольника;

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром (обозначим его H).

Расстояние от ортоцентра H до сторон треугольника можно выразить через радиус описанной окружности R и углы треугольника следующими формулами: $d_a = |2R \cos B \cos C|$ $d_b = |2R \cos A \cos C|$ $d_c = |2R \cos A \cos B|$ (Абсолютная величина необходима, так как в тупоугольном треугольнике один из косинусов будет отрицательным, а расстояние — всегда положительная величина).

Чтобы найти наименьшее расстояние, сравним, например, $d_a$ и $d_b$ (для остроугольного треугольника, где все косинусы положительны). $d_a = 2R \cos B \cos C$ $d_b = 2R \cos A \cos C$

Предположим, что сторона $a$ длиннее стороны $b$ ($a > b$). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому $A > B$. Так как для острых углов функция косинуса убывает, из $A > B$ следует, что $\cos A < \cos B$.

Умножив обе части неравенства на положительное число $2R \cos C$, получим: $2R \cos A \cos C < 2R \cos B \cos C$, что означает $d_b < d_a$.

Итак, если сторона $a$ больше стороны $b$, то расстояние до стороны $b$ ($d_b$) оказывается меньше, чем расстояние до стороны $a$ ($d_a$). Это означает, что чем короче сторона, тем ближе к ней находится ортоцентр. Следовательно, наименьшее расстояние будет до самой короткой стороны.

Ответ: к наименьшей стороне.

в) медиан треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром масс треугольника (обозначим его M).

Известно, что расстояние от центроида до любой из сторон треугольника равно одной трети высоты, опущенной на эту сторону. Пусть $h_a, h_b, h_c$ — высоты, опущенные на стороны $a, b, c$ соответственно. Тогда расстояния от центроида M до этих сторон равны: $d_a = \frac{1}{3}h_a$ $d_b = \frac{1}{3}h_b$ $d_c = \frac{1}{3}h_c$

Чтобы определить, к какой стороне центроид находится ближе, нам нужно найти наименьшее из этих расстояний, что эквивалентно нахождению наименьшей из высот треугольника ($h_a, h_b, h_c$).

Площадь треугольника $S$ можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту: $S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$

Из этих равенств можно выразить высоты: $h_a = \frac{2S}{a}$, $h_b = \frac{2S}{b}$, $h_c = \frac{2S}{c}$

Из формул видно, что высота обратно пропорциональна длине стороны, на которую она опущена. Это означает, что самая короткая высота ($h_{min}$) будет та, которая опущена на самую длинную сторону ($a_{max}$).

Следовательно, наименьшее расстояние от центроида будет до той стороны, которая имеет наибольшую длину.

Ответ: к наибольшей стороне.