Номер 411, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

411. Докажите, что площадь остроугольного треугольника равна произведению радиуса описанного круга и полупериметра треугольника, образованного основаниями высот.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$, противолежащими вершинам $A, B, C$ соответственно. Углы треугольника обозначим через $\alpha, \beta, \gamma$. Пусть $R$ — радиус описанной окружности $\triangle ABC$, а $S_{ABC}$ — его площадь.

Проведем высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ из вершин $A, B, C$ к противолежащим сторонам. Точки $A_1, B_1, C_1$ являются основаниями высот и образуют так называемый ортотреугольник $A_1B_1C_1$. Обозначим полупериметр ортотреугольника как $p_1$.

Требуется доказать, что площадь исходного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности и полупериметра ортотреугольника, то есть $S_{ABC} = R \cdot p_1$.

1. Найдем длины сторон ортотреугольника $A_1B_1C_1$.
Рассмотрим сторону $B_1C_1$. Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ соответственно, так как треугольник $ABC$ остроугольный.
В прямоугольном треугольнике $AB_1B$ (с прямым углом $B_1$) имеем: $AB_1 = AB \cdot \cos \alpha = c \cos \alpha$.
В прямоугольном треугольнике $AC_1C$ (с прямым углом $C_1$) имеем: $AC_1 = AC \cdot \cos \alpha = b \cos \alpha$.
Теперь в треугольнике $AB_1C_1$ применим теорему косинусов для нахождения стороны $B_1C_1$:$B_1C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot AC_1 \cdot \cos \alpha$$B_1C_1^2 = (c \cos \alpha)^2 + (b \cos \alpha)^2 - 2(c \cos \alpha)(b \cos \alpha)\cos \alpha$$B_1C_1^2 = \cos^2 \alpha (c^2 + b^2 - 2bc \cos \alpha)$
По теореме косинусов для $\triangle ABC$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.
Подставляя это в выражение для $B_1C_1^2$, получаем:$B_1C_1^2 = a^2 \cos^2 \alpha$
Отсюда $B_1C_1 = a \cos \alpha$ (так как для остроугольного треугольника $\cos \alpha > 0$).
Аналогично, рассматривая треугольники $BC_1A_1$ и $CA_1B_1$, находим две другие стороны ортотреугольника:$A_1C_1 = b \cos \beta$$A_1B_1 = c \cos \gamma$

2. Выразим полупериметр ортотреугольника $p_1$.
$p_1 = \frac{1}{2} (A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1) = \frac{1}{2} (c \cos \gamma + a \cos \alpha + b \cos \beta)$.

3. Преобразуем выражение для $p_1$ с помощью теоремы синусов.
По обобщенной теореме синусов для $\triangle ABC$: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$. Отсюда выразим стороны: $a = 2R \sin \alpha$, $b = 2R \sin \beta$, $c = 2R \sin \gamma$.
Подставим эти выражения в формулу для $p_1$:$p_1 = \frac{1}{2} (2R \sin \gamma \cos \gamma + 2R \sin \alpha \cos \alpha + 2R \sin \beta \cos \beta)$$p_1 = R (\sin \alpha \cos \alpha + \sin \beta \cos \beta + \sin \gamma \cos \gamma)$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, получаем:$p_1 = \frac{R}{2} (\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma)$

4. Применим известное тригонометрическое тождество для углов треугольника.
Для углов любого треугольника, где $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, справедливо тождество:$\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
Подставим это в выражение для $p_1$:$p_1 = \frac{R}{2} (4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma) = 2R \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.

5. Выразим площадь $S_{ABC}$ через $R$ и синусы углов.
Формула площади треугольника: $S_{ABC} = \frac{1}{2} bc \sin \alpha$.
Используя теорему синусов ($b = 2R \sin \beta$, $c = 2R \sin \gamma$), подставим выражения для сторон:$S_{ABC} = \frac{1}{2} (2R \sin \beta)(2R \sin \gamma) \sin \alpha = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.

6. Сравним $S_{ABC}$ и произведение $R \cdot p_1$.
Из шага 4 мы получили выражение для $p_1$. Найдем произведение $R \cdot p_1$:$R \cdot p_1 = R \cdot (2R \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma) = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
Сравнивая полученные выражения, видим, что:$S_{ABC} = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$R \cdot p_1 = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$
Следовательно, $S_{ABC} = R \cdot p_1$.

Ответ: Что и требовалось доказать.