Номер 414, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

414. Докажите, что радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$, и радиус $r_a$ его вневписанной окружности, касающейся стороны длиной $a$ (рис. 301), связаны формулой $rr_a = (p - b) (p - c)$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулами для площади треугольника, которые связывают её с радиусами вписанной и вневписанной окружностей, а также формулой Герона.

Пусть $S$ — площадь треугольника со сторонами $a, b, c$. Полупериметр треугольника $p$ определяется как $p = \frac{a+b+c}{2}$. Радиус вписанной окружности обозначим как $r$, а радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $a$ и продолжений двух других сторон, как $r_a$.

Площадь треугольника можно выразить через радиус $r$ вписанной окружности и полупериметр $p$ по формуле $S = p \cdot r$. Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
$r = \frac{S}{p}$

Аналогично, площадь треугольника можно выразить через радиус $r_a$ вневписанной окружности, касающейся стороны $a$, по формуле $S = r_a \cdot (p - a)$. Отсюда радиус этой вневписанной окружности равен:
$r_a = \frac{S}{p-a}$

Теперь перемножим полученные выражения для $r$ и $r_a$:
$rr_a = \frac{S}{p} \cdot \frac{S}{p-a} = \frac{S^2}{p(p-a)}$

Согласно формуле Герона, площадь треугольника вычисляется как $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Возведя обе части в квадрат, получим выражение для $S^2$:
$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$

Подставим это выражение для $S^2$ в нашу формулу для произведения радиусов $rr_a$:
$rr_a = \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p(p-a)}$
Сократим общие множители $p$ и $(p-a)$ в числителе и знаменателе, и в результате получим:
$rr_a = (p-b)(p-c)$
Таким образом, мы доказали требуемое тождество.

Ответ: Требуемая формула $rr_a = (p - b)(p - c)$ доказана.