Номер 407, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

407. Определите, какой из трех отрезков наименьший, учитывая, что эти отрезки являются:

а) высотами одного треугольника;

б) медианами одного треугольника;

в) биссектрисами треугольника.

а) высотами одного треугольника;

Пусть в треугольнике стороны имеют длины $a, b, c$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a, h_b, h_c$ соответственно. Площадь треугольника $S$ можно вычислить по любой из сторон и соответствующей ей высоте:
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a = \frac{1}{2} b \cdot h_b = \frac{1}{2} c \cdot h_c$
Из этих равенств выразим длины высот:
$h_a = \frac{2S}{a}$
$h_b = \frac{2S}{b}$
$h_c = \frac{2S}{c}$
Из формул видно, что длина высоты обратно пропорциональна длине стороны, к которой она проведена. Это означает, что чем длиннее сторона, тем короче проведенная к ней высота. Таким образом, если стороны упорядочить по длине, например, $a > b > c$, то для высот будет выполняться обратное неравенство: $h_a < h_b < h_c$.
Следовательно, наименьшей из трех высот является та, что проведена к наибольшей стороне треугольника.
Ответ: Наименьшей является высота, проведенная к наибольшей стороне треугольника.

б) медианами одного треугольника;

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а медианы, проведенные к этим сторонам, — $m_a, m_b, m_c$ соответственно. Длина медианы, проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле:
$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
Аналогично для других медиан:
$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$
$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$
Чтобы определить, какая из медиан наименьшая, сравним длины двух медиан, например $m_a$ и $m_b$. Предположим, что сторона $a$ длиннее стороны $b$, то есть $a > b$. Сравним квадраты длин медиан:
$m_b^2 - m_a^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} - \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2 - 2b^2 - 2c^2 + a^2}{4} = \frac{3a^2 - 3b^2}{4} = \frac{3}{4}(a^2 - b^2)$
Поскольку по нашему предположению $a > b$, то $a^2 > b^2$, и, следовательно, разность $a^2 - b^2$ положительна. Это означает, что $m_b^2 - m_a^2 > 0$, откуда $m_b^2 > m_a^2$. Так как длины медиан являются положительными величинами, то $m_b > m_a$.
Мы доказали, что большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана. Следовательно, наименьшая из трех медиан — это та, что проведена к наибольшей стороне треугольника.
Ответ: Наименьшей является медиана, проведенная к наибольшей стороне треугольника.

в) биссектрисами треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а биссектрисы углов, противолежащих этим сторонам, — $l_a, l_b, l_c$ соответственно. Длина квадрата биссектрисы, проведенной к стороне $a$, выражается формулой:
$l_a^2 = bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$
Аналогично для биссектрисы, проведенной к стороне $b$:
$l_b^2 = ac - \frac{b^2ac}{(a+c)^2}$
Сравним длины биссектрис $l_a$ и $l_b$, предположив, что сторона $a$ длиннее стороны $b$ ($a > b$). Найдем разность квадратов их длин:
$l_b^2 - l_a^2 = \left(ac - \frac{ab^2c}{(a+c)^2}\right) - \left(bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}\right)$
Сгруппируем слагаемые:
$l_b^2 - l_a^2 = (ac - bc) + \left(\frac{a^2bc}{(b+c)^2} - \frac{ab^2c}{(a+c)^2}\right) = c(a-b) + abc\left(\frac{a}{(b+c)^2} - \frac{b}{(a+c)^2}\right)$
Рассмотрим каждое слагаемое в полученной сумме.
1. Первое слагаемое $c(a-b)$ положительно, так как $c > 0$ и по предположению $a > b$.
2. Рассмотрим выражение в скобках во втором слагаемом:
$\frac{a}{(b+c)^2} - \frac{b}{(a+c)^2} = \frac{a(a+c)^2 - b(b+c)^2}{(b+c)^2(a+c)^2} = \frac{a(a^2+2ac+c^2) - b(b^2+2bc+c^2)}{(b+c)^2(a+c)^2} = \frac{(a^3-b^3)+2c(a^2-b^2)+c^2(a-b)}{(b+c)^2(a+c)^2}$
Поскольку $a > b$, все выражения в числителе $(a^3-b^3)$, $2c(a^2-b^2)$ и $c^2(a-b)$ положительны. Знаменатель также положителен. Следовательно, вся дробь, а значит и второе слагаемое, положительны.
Так как оба слагаемых в выражении для $l_b^2 - l_a^2$ положительны, их сумма также положительна. Таким образом, $l_b^2 - l_a^2 > 0$, что означает $l_b^2 > l_a^2$, и, следовательно, $l_b > l_a$.
Это доказывает, что большей стороне треугольника соответствует меньшая биссектриса. Следовательно, наименьшая из трех биссектрис — та, что проведена к наибольшей стороне треугольника.
Ответ: Наименьшей является биссектриса, проведенная к наибольшей стороне треугольника.