Номер 402, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

402. Докажите, что отрезок, соединяющий:

а) вершину треугольника и произвольную точку противолежащей стороны, меньше большей из двух других сторон;

б) точки двух сторон треугольника, меньше наибольшей его стороны;

в) две внутренние точки треугольника, меньше наибольшей его стороны.

а) Пусть дан треугольник $ABC$. Пусть $D$ — произвольная точка на стороне $AC$. Требуется доказать, что отрезок $BD$ меньше большей из двух других сторон, то есть $BD < \max(AB, BC)$.

Рассмотрим смежные углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$. Их сумма равна $180^\circ$, то есть $\angle BDA + \angle BDC = 180^\circ$. Это означает, что по крайней мере один из этих углов не является острым (то есть он либо прямой, либо тупой, $\ge 90^\circ$).

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если $\angle BDC \ge 90^\circ$. В треугольнике $BDC$ против большего угла лежит большая сторона. Поскольку угол $\angle BDC$ является наибольшим в $\triangle BDC$, то противолежащая ему сторона $BC$ является наибольшей в этом треугольнике. Следовательно, $BC > BD$.
2. Если $\angle BDA \ge 90^\circ$. Аналогично, в треугольнике $ABD$ угол $\angle BDA$ является наибольшим. Следовательно, противолежащая ему сторона $AB$ является наибольшей в этом треугольнике. Таким образом, $AB > BD$.

Поскольку один из этих двух случаев обязательно выполняется, отрезок $BD$ всегда меньше либо стороны $AB$, либо стороны $BC$. Отсюда следует, что он меньше большей из этих двух сторон: $BD < \max(AB, BC)$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий вершину треугольника и произвольную точку противолежащей стороны, меньше большей из двух других сторон.

б) Пусть дан треугольник $ABC$ и его наибольшая сторона имеет длину $c_{max}$. Пусть $D$ и $E$ — точки на двух его сторонах. Для определенности, пусть точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $AC$. (Случаи, когда точки лежат на других парах сторон, доказываются аналогично). Если одна из точек совпадает с вершиной, например $D=A$, то отрезок $AE$ лежит на стороне $AC$, и очевидно $AE \le AC \le c_{max}$. Поэтому будем считать, что $D$ и $E$ не являются вершинами.

Проведем отрезок $CD$. Этот отрезок соединяет вершину $C$ с точкой $D$ на противолежащей стороне $AB$. Согласно утверждению из пункта (а), длина отрезка $CD$ меньше большей из двух других сторон треугольника $ABC$, то есть $CD < \max(AC, BC)$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $DE$ соединяет его вершину $D$ с точкой $E$, лежащей на противолежащей стороне $AC$. Снова применяя утверждение из пункта (а) к треугольнику $ACD$, получаем, что длина $DE$ меньше большей из двух других сторон этого треугольника: $DE < \max(AD, CD)$.

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $AB$, то $AD < AB$.

Объединим полученные неравенства:
$DE < \max(AD, CD)$.
Подставим известные оценки для $AD$ и $CD$:
$DE < \max(AB, \max(AC, BC))$.
Это равносильно $DE < \max(AB, AC, BC) = c_{max}$.
Таким образом, отрезок, соединяющий точки на двух сторонах треугольника, меньше его наибольшей стороны.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий точки двух сторон треугольника, меньше наибольшей его стороны.

в) Пусть дан треугольник $ABC$ и две его внутренние точки $M$ и $N$. Пусть $c_{max}$ — длина его наибольшей стороны.

Проведем прямую через точки $M$ и $N$. Эта прямая пересекает границу треугольника (его стороны) в двух точках. Обозначим эти точки пересечения $D$ и $E$.

Поскольку точки $M$ и $N$ являются внутренними для треугольника, они лежат на отрезке $DE$ между точками $D$ и $E$. Следовательно, длина отрезка $MN$ меньше длины отрезка $DE$: $MN < DE$.

Точки $D$ и $E$ лежат на сторонах треугольника $ABC$. Возможны два варианта:

1. Точки $D$ и $E$ лежат на разных сторонах треугольника. Например, $D$ на стороне $AB$, а $E$ на стороне $AC$. В этом случае, согласно доказанному в пункте (б), отрезок $DE$ меньше наибольшей стороны треугольника $ABC$: $DE < c_{max}$. Из неравенств $MN < DE$ и $DE < c_{max}$ следует, что $MN < c_{max}$.
2. Точки $D$ и $E$ лежат на одной стороне треугольника, например, на стороне $AC$. В этом случае весь отрезок $DE$ принадлежит стороне $AC$. Так как точки $M$ и $N$ лежат на отрезке $DE$, они также должны лежать на стороне $AC$. Но это противоречит условию, что $M$ и $N$ — внутренние точки треугольника. Внутренняя точка по определению не может лежать на его границе (стороне). Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, точки пересечения $D$ и $E$ всегда лежат на разных сторонах треугольника. Как показано в первом случае, из этого следует, что $MN < c_{max}$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий две внутренние точки треугольника, меньше наибольшей его стороны.