Номер 399, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

399. Докажите, что сумма расстояний от любой:

а) точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне;

б) внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $P$ — произвольная точка на основании $AC$. Опустим перпендикуляры из точки $P$ на боковые стороны $AB$ и $BC$. Пусть $PD \perp AB$ (точка $D$ лежит на $AB$) и $PE \perp BC$ (точка $E$ лежит на $BC$). Длины этих перпендикуляров, $PD$ и $PE$, являются расстояниями от точки $P$ до боковых сторон. Проведём высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Требуется доказать, что $PD + PE = AH$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Соединим точку $P$ с вершиной $B$. Отрезок $BP$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle APB$ и $\triangle CPB$. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABC} = S_{APB} + S_{CPB}$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для треугольника $APB$ в качестве основания возьмём сторону $AB$, тогда высотой будет перпендикуляр $PD$. Его площадь: $S_{APB} = \frac{1}{2} AB \cdot PD$.

Для треугольника $CPB$ в качестве основания возьмём сторону $BC$, тогда высотой будет перпендикуляр $PE$. Его площадь: $S_{CPB} = \frac{1}{2} BC \cdot PE$.

Сложим площади: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot PD + \frac{1}{2} BC \cdot PE$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, то его боковые стороны равны: $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны как $b$. Тогда $S_{ABC} = \frac{1}{2} b \cdot PD + \frac{1}{2} b \cdot PE = \frac{1}{2} b (PD + PE)$.

С другой стороны, площадь треугольника $ABC$ можно вычислить, используя высоту $AH$, проведённую к стороне $BC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AH = \frac{1}{2} b \cdot AH$.

Приравнивая два полученных выражения для площади треугольника $ABC$, получаем: $\frac{1}{2} b (PD + PE) = \frac{1}{2} b \cdot AH$.

Сократив обе части равенства на $\frac{1}{2}b$ (поскольку $b \ne 0$), получим: $PD + PE = AH$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне.

б)

Это утверждение известно как теорема Вивиани. Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Все его высоты равны, обозначим их длину как $H$. Пусть $P$ — произвольная точка внутри треугольника. Опустим перпендикуляры из точки $P$ на стороны $AB$, $BC$ и $AC$. Пусть их основаниями являются точки $F$, $D$ и $E$ соответственно. Длины этих перпендикуляров $PF$, $PD$, $PE$ — это расстояния от точки $P$ до сторон треугольника. Требуется доказать, что $PD + PE + PF = H$.

Для доказательства также воспользуемся методом площадей. Соединим точку $P$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Эти отрезки разбивают треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle PAB$, $\triangle PBC$ и $\triangle PCA$. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трёх треугольников: $S_{ABC} = S_{PAB} + S_{PBC} + S_{PCA}$.

Вычислим площади каждого из трёх меньших треугольников, используя тот факт, что все стороны равны $a$ ($AB=BC=AC=a$): $S_{PAB} = \frac{1}{2} AB \cdot PF = \frac{1}{2} a \cdot PF$. $S_{PBC} = \frac{1}{2} BC \cdot PD = \frac{1}{2} a \cdot PD$. $S_{PCA} = \frac{1}{2} AC \cdot PE = \frac{1}{2} a \cdot PE$.

Сложив их, получим выражение для площади треугольника $ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot PF + \frac{1}{2} a \cdot PD + \frac{1}{2} a \cdot PE = \frac{1}{2} a (PD + PE + PF)$.

Площадь равностороннего треугольника $ABC$ также можно выразить через его сторону $a$ и высоту $H$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot H$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2} a (PD + PE + PF) = \frac{1}{2} a \cdot H$.

Сократив обе части равенства на $\frac{1}{2}a$ (поскольку $a \ne 0$), получим: $PD + PE + PF = H$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма расстояний от любой внутренней точки равностороннего треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника.