Номер 404, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

404. Найдите:

а) проведенную к гипотенузе высоту прямоугольного треугольника, учитывая, что его катеты равны $a$ и $b$;

б) сторону треугольника, учитывая, что проведенная к ней высота равна $h$, а две другие стороны — $a$ и $b$;

в) высоты треугольника и его площадь, учитывая, что его стороны равны $a, b, c$;

г) площадь треугольника, учитывая, что его высоты равны $h_a, h_b, h_c$;

д) медианы треугольника, учитывая, что его стороны равны $a, b, c$;

е) стороны треугольника и его площадь, учитывая, что его медианы равны $m_a, m_b, m_c$;

ж) биссектрисы треугольника, учитывая, что его стороны равны $a, b, c$;

з) радиус описанной около треугольника окружности, учитывая, что его стороны равны $a, b, c$.

а) проведенную к гипотенузе высоту прямоугольного треугольника, учитывая, что его катеты равны a и b;

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Высоту, проведенную к гипотенузе, обозначим $h_c$.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2}ab$.
2. Через гипотенузу и высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2}ch_c$.

Приравнивая два выражения для площади, получаем: $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$, откуда следует, что $ab = ch_c$.

Выразим высоту $h_c$: $h_c = \frac{ab}{c}$.

По теореме Пифагора гипотенуза $c$ связана с катетами соотношением: $c^2 = a^2 + b^2$, следовательно, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Подставим выражение для $c$ в формулу для высоты:

$h_c = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Ответ: $\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.

б) сторону треугольника, учитывая, что проведенная к ней высота равна h, а две другие стороны — a и b;

Пусть искомая сторона треугольника равна $c$. К этой стороне проведена высота $h$. Две другие стороны равны $a$ и $b$.

Высота $h$ делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Основание высоты делит сторону $c$ (или ее продолжение) на два отрезка.

В первом прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $a$, один катет — $h$. Второй катет, $x$, найдем по теореме Пифагора: $x^2 + h^2 = a^2$, откуда $x = \sqrt{a^2 - h^2}$.

Во втором прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $b$, один катет — $h$. Второй катет, $y$, найдем по теореме Пифагора: $y^2 + h^2 = b^2$, откуда $y = \sqrt{b^2 - h^2}$.

Возможны два случая в зависимости от того, лежит ли основание высоты внутри стороны $c$ или вне ее (т.е. является ли треугольник остроугольным или тупоугольным относительно углов при стороне $c$):

1. Если оба угла при стороне $c$ острые, высота падает на саму сторону $c$. Тогда длина стороны $c$ равна сумме длин отрезков $x$ и $y$: $c = x + y = \sqrt{a^2 - h^2} + \sqrt{b^2 - h^2}$.
2. Если один из углов при стороне $c$ тупой, высота падает на продолжение стороны $c$. Тогда длина стороны $c$ равна модулю разности длин отрезков $x$ и $y$: $c = |x - y| = |\sqrt{a^2 - h^2} - \sqrt{b^2 - h^2}|$.

Так как в условии задачи тип треугольника не уточнен, существуют два возможных решения.

Ответ: $\sqrt{a^2 - h^2} + \sqrt{b^2 - h^2}$ (если высота падает на сторону) или $|\sqrt{a^2 - h^2} - \sqrt{b^2 - h^2}|$ (если высота падает на продолжение стороны).

в) высоты треугольника и его площадь, учитывая, что его стороны равны a, b, c;

Сначала найдем площадь треугольника $S$ по его сторонам $a, b, c$. Для этого воспользуемся формулой Герона.

1. Вычисляем полупериметр треугольника $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2}$.

2. Площадь треугольника $S$ по формуле Герона равна:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Теперь найдем высоты треугольника $h_a, h_b, h_c$, проведенные к сторонам $a, b, c$ соответственно. Площадь треугольника также можно выразить через сторону и проведенную к ней высоту:

$S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$.

Из этих равенств выразим высоты:

$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$

$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}$

$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$

где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Ответ: Площадь: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$. Высоты: $h_a = \frac{2S}{a}$, $h_b = \frac{2S}{b}$, $h_c = \frac{2S}{c}$.

г) площадь треугольника, учитывая, что его высоты равны $h_a, h_b, h_c$;

Пусть стороны треугольника, соответствующие высотам $h_a, h_b, h_c$, равны $a, b, c$, а площадь треугольника равна $S$.

Из формулы площади треугольника имеем: $a = \frac{2S}{h_a}$, $b = \frac{2S}{h_b}$, $c = \frac{2S}{h_c}$.

Подставим эти выражения для сторон в формулу Герона $S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Выразим полупериметр $p$ и разности $p-a, p-b, p-c$ через $S$ и высоты:

$p = \frac{1}{2}\left(\frac{2S}{h_a} + \frac{2S}{h_b} + \frac{2S}{h_c}\right) = S\left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right)$

$p-a = S\left(-\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right)$

$p-b = S\left(\frac{1}{h_a} - \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right)$

$p-c = S\left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} - \frac{1}{h_c}\right)$

Подставим все в формулу Герона:

$S^2 = S^4 \left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right) \left(-\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right) \left(\frac{1}{h_a} - \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right) \left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} - \frac{1}{h_c}\right)$

Сократив на $S^2$ (считая $S \neq 0$), получим $S^{-2}$. Выражая $S$, получаем:

Ответ: $S = \left[ \left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right) \left(-\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right) \left(\frac{1}{h_a} - \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c}\right) \left(\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} - \frac{1}{h_c}\right) \right]^{-\frac{1}{2}}$.

д) медианы треугольника, учитывая, что его стороны равны a, b, c;

Длины медиан треугольника можно найти, используя формулу Аполлония. Пусть $m_a, m_b, m_c$ — медианы, проведенные к сторонам $a, b, c$ соответственно.

Длина медианы, проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Аналогично, путем циклической перестановки сторон, находим длины двух других медиан:

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Ответ: $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$, $m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$, $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$.

е) стороны треугольника и его площадь, учитывая, что его медианы равны $m_a, m_b, m_c$;

1. Нахождение сторон треугольника.

Используя формулы для длин медиан из предыдущего пункта, можно составить систему уравнений и решить ее относительно квадратов сторон $a^2, b^2, c^2$. Решение системы дает следующие формулы для сторон:

$a = \frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2}$

$b = \frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2 + 2m_c^2 - m_b^2}$

$c = \frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2 + 2m_b^2 - m_c^2}$

2. Нахождение площади треугольника.

Площадь треугольника $S$ связана с площадью $S_m$ треугольника, построенного на его медианах, соотношением: $S = \frac{4}{3}S_m$.

Найдем площадь $S_m$ треугольника со сторонами $m_a, m_b, m_c$ по формуле Герона.

Полупериметр "медианного" треугольника $p_m$: $p_m = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}$.

Площадь $S_m$: $S_m = \sqrt{p_m(p_m-m_a)(p_m-m_b)(p_m-m_c)}$.

Искомая площадь исходного треугольника $S$ равна: $S = \frac{4}{3}S_m$.

Ответ: Стороны: $a = \frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2}$, $b = \frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2 + 2m_c^2 - m_b^2}$, $c = \frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2 + 2m_b^2 - m_c^2}$. Площадь: $S = \frac{4}{3}\sqrt{p_m(p_m-m_a)(p_m-m_b)(p_m-m_c)}$, где $p_m = \frac{m_a+m_b+m_c}{2}$.

ж) биссектрисы треугольника, учитывая, что его стороны равны a, b, c;

Длину биссектрисы треугольника можно вычислить по формуле. Пусть $l_a, l_b, l_c$ — длины биссектрис, проведенных из вершин к сторонам $a, b, c$ соответственно.

Формула для длины биссектрисы $l_a$, проведенной к стороне $a$, имеет вид:

$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

По аналогии находим длины двух других биссектрис:

$l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$

$l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$

Ответ: $l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$, $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$, $l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

з) радиус описанной около треугольника окружности, учитывая, что его стороны равны a, b, c.

Радиус $R$ описанной окружности треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$ находится по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.

Чтобы выразить радиус только через стороны, необходимо сначала выразить площадь $S$ через стороны. Для этого используется формула Герона.

1. Вычисляем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

2. Вычисляем площадь $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

3. Подставляем выражение для площади в формулу для радиуса описанной окружности:

$R = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Ответ: $R = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$.