Номер 408, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

408. Определите:

a) можно ли разносторонний треугольник разрезать на два равных треугольника;

б) сколькими способами равносторонний треугольник можно разрезать на два равных треугольника.

а)

Предположим, что разносторонний треугольник $ABC$ можно разрезать на два равных треугольника. Разрез должен представлять собой прямой отрезок. Чтобы в результате разреза получилось два треугольника, разрез должен соединять одну из вершин исходного треугольника с точкой на противолежащей стороне. Такой отрезок называется чевианой.

Пусть чевиана $AD$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Если эти два треугольника равны ($\triangle ABD \cong \triangle ACD$), то их площади также должны быть равны. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Пусть $h_A$ — высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$. Тогда площадь $\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$, а площадь $\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_A$. Из равенства площадей следует: $\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_A$, откуда мы получаем, что $BD = CD$. Это означает, что точка $D$ является серединой стороны $BC$, а следовательно, отрезок $AD$ является медианой треугольника $ABC$.

Теперь рассмотрим условия равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, зная, что $AD$ — медиана. У этих треугольников сторона $AD$ — общая, а стороны $BD$ и $CD$ равны по определению медианы. По признакам равенства треугольников, для того чтобы $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ были равны, необходимо выполнение одного из двух условий:
1. Третьи стороны равны: $AB = AC$. Если это так, то треугольник $ABC$ является равнобедренным, что противоречит условию, что он разносторонний.
2. Углы между равными сторонами равны: $\angle ADB = \angle ADC$. Поскольку эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Если они равны, то каждый из них равен $90^\circ$. Это значит, что медиана $AD$ является также и высотой. В треугольнике, где медиана, проведенная к стороне, совпадает с высотой, опущенной на эту же сторону, треугольник является равнобедренным ($AB=AC$), что опять же противоречит условию.

Рассмотрим также другой вариант соответствия вершин при равенстве треугольников, например, $\triangle ABD \cong \triangle CDA$. Это означало бы равенство следующих сторон: $AB = CD$, $BD = AC$ и $AD=DA$. Поскольку $AD$ — медиана, $D$ — середина $BC$, то есть $BD = CD = \frac{1}{2}BC$. Тогда из равенств $AB = CD$ и $BD = AC$ следует, что $AB = \frac{1}{2}BC$ и $AC = \frac{1}{2}BC$. Сложив длины этих двух сторон, получаем: $AB + AC = \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}BC = BC$. Это равенство противоречит неравенству треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны ($AB + AC > BC$).

Таким образом, мы приходим к выводу, что разносторонний треугольник невозможно разрезать на два равных треугольника.

Ответ: нет, нельзя.

б)

Рассмотрим равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Как было установлено при решении пункта а), для того чтобы разрезать треугольник на два равных треугольника, разрез должен быть осуществлен по одной из его медиан.

В равностороннем треугольнике любая медиана является одновременно высотой и биссектрисой. Проведем медиану из одной из вершин, например из вершины $A$, к середине противолежащей стороны $BC$ в точке $D$. Эта медиана $AD$ разделит равносторонний треугольник $ABC$ на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

Сравним эти два треугольника. У них:
• $AB = AC$ (стороны равностороннего треугольника);
• $BD = CD$ ($AD$ — медиана);
• $AD$ — общая сторона.
Следовательно, по признаку равенства треугольников по трем сторонам (SSS), $\triangle ABD \cong \triangle ACD$.

Это означает, что любая медиана в равностороннем треугольнике делит его на два равных прямоугольных треугольника (так как медиана является и высотой). У треугольника три вершины, и из каждой можно провести медиану к противоположной стороне. Таким образом, существует три различных способа разрезать равносторонний треугольник на два равных треугольника:
1. По медиане, проведенной из первой вершины.
2. По медиане, проведенной из второй вершины.
3. По медиане, проведенной из третьей вершины.

Каждая из трех медиан является осью симметрии равностороннего треугольника, и разрез по любой из них дает искомый результат.

Ответ: 3 способами.