Номер 406, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

406. Определите, к какой вершине треугольника ближе расположена точка пересечения:

а) биссектрис треугольника;

б) высот треугольника;

в) медиан треугольника.

Чтобы определить, к какой вершине ближе расположена точка пересечения, нужно сравнить расстояния от этой точки до каждой из трех вершин треугольника. Ответ будет зависеть от геометрии самого треугольника, а именно от длин его сторон и величин углов.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$ (где сторона $a$ лежит напротив вершины $A$, $b$ — напротив $B$, и $c$ — напротив $C$) и углами $\alpha, \beta, \gamma$ при этих вершинах соответственно.

а) биссектрис треугольника;

Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром и является центром вписанной в треугольник окружности. Обозначим инцентр буквой $I$.

Расстояние от инцентра до любой вершины треугольника можно вычислить. Рассмотрим расстояние от инцентра $I$ до вершины $A$, то есть длину отрезка $IA$. Если $r$ — радиус вписанной окружности, то из прямоугольного треугольника, образованного вершиной $A$, инцентром $I$ и точкой касания вписанной окружности со стороной $AC$ или $AB$, мы можем найти $IA$:

$IA = \frac{r}{\sin(\alpha/2)}$

Аналогично, расстояния до других вершин равны:

$IB = \frac{r}{\sin(\beta/2)}$

$IC = \frac{r}{\sin(\gamma/2)}$

Чтобы найти, какое из этих расстояний наименьшее, нам нужно сравнить знаменатели дробей. Наименьшее расстояние будет соответствовать наибольшему знаменателю. Функция $y = \sin(x)$ возрастает для углов от $0^\circ$ до $90^\circ$. Поскольку $\alpha, \beta, \gamma$ — углы треугольника, их половины $\alpha/2, \beta/2, \gamma/2$ находятся в этом диапазоне.

Следовательно, чем больше угол при вершине, тем больше значение синуса его половины. Наибольшему углу треугольника будет соответствовать наибольшее значение синуса, а значит, и наименьшее расстояние от инцентра до этой вершины.

Ответ: Точка пересечения биссектрис (инцентр) расположена ближе к вершине с наибольшим углом.

б) высот треугольника;

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Обозначим его буквой $H$.

Расстояние от любой вершины до ортоцентра можно выразить через радиус $R$ описанной окружности и косинус угла при этой вершине. Формулы для расстояний от ортоцентра $H$ до вершин $A, B, C$ имеют вид:

$AH = 2R|\cos\alpha|$

$BH = 2R|\cos\beta|$

$CH = 2R|\cos\gamma|$

Рассмотрим три возможных случая:

1. Остроугольный треугольник: все углы $\alpha, \beta, \gamma$ острые (меньше $90^\circ$). В этом случае $|\cos\alpha| = \cos\alpha$. Функция $y=\cos(x)$ убывает на интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. Это означает, что чем больше угол, тем меньше его косинус. Следовательно, наименьшее расстояние будет до вершины с наибольшим углом.
2. Прямоугольный треугольник: пусть угол $\alpha = 90^\circ$. Тогда $\cos\alpha = 0$, и расстояние $AH = 0$. Ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла $A$. Эта вершина и есть вершина с наибольшим углом ($90^\circ$).
3. Тупоугольный треугольник: пусть угол $\alpha > 90^\circ$. Тогда $\beta$ и $\gamma$ — острые углы, и их сумма $\beta+\gamma < 90^\circ$. Мы сравниваем $|\cos\alpha|$, $\cos\beta$ и $\cos\gamma$. Так как $\alpha$ — тупой, $|\cos\alpha| = |-\cos(180^\circ-\alpha)| = \cos(180^\circ-\alpha) = \cos(\beta+\gamma)$. Поскольку $\beta+\gamma > \beta$ и $\beta+\gamma > \gamma$, а все три угла $(\beta+\gamma)$, $\beta$, $\gamma$ острые, то $\cos(\beta+\gamma) < \cos\beta$ и $\cos(\beta+\gamma) < \cos\gamma$. Таким образом, расстояние $AH$ будет наименьшим. То есть ортоцентр ближе к вершине с тупым (наибольшим) углом.

Во всех случаях ортоцентр оказывается ближе к вершине с наибольшим углом.

Ответ: Точка пересечения высот (ортоцентр) расположена ближе к вершине с наибольшим углом.

в) медиан треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника называется центроидом или центром тяжести. Обозначим его буквой $M$.

Основное свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть медианы, проведенные из вершин $A, B, C$, имеют длины $m_a, m_b, m_c$ соответственно. Тогда расстояния от центроида до вершин равны:

$AM = \frac{2}{3}m_a$

$BM = \frac{2}{3}m_b$

$CM = \frac{2}{3}m_c$

Чтобы найти наименьшее расстояние, нужно определить, какая из медиан самая короткая. Длина медианы связана с длинами сторон треугольника. Например, для медианы $m_a$ формула (следствие теоремы Аполлония) выглядит так:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Сравним длины двух медиан, например $m_a$ и $m_b$.

$m_a^2 - m_b^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} - \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \frac{3b^2 - 3a^2}{4} = \frac{3}{4}(b^2 - a^2)$

Из этой формулы видно, что если сторона $a$ длиннее стороны $b$ (то есть $a > b$), то $b^2 - a^2 < 0$, и, следовательно, $m_a^2 < m_b^2$, что означает $m_a < m_b$. Таким образом, большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

Самая короткая медиана проводится к самой длинной стороне. В свою очередь, по теореме синусов, напротив самой длинной стороны лежит самый большой угол.

Значит, если $a$ — самая длинная сторона, то $\alpha$ — самый большой угол, $m_a$ — самая короткая медиана, и расстояние $AM = \frac{2}{3}m_a$ — самое короткое расстояние от центроида до вершины.

Ответ: Точка пересечения медиан (центроид) расположена ближе к вершине с наибольшим углом.