Номер 413, страница 147 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

413. Высота треугольника равна $h$, а отрезки, на которые противолежащая сторона разделяется основанием высоты, — $k$ и $l$. Найдите отрезки, на которые разделяется эта высота другой высотой треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем высоту $BH$ к стороне $AC$. По условию задачи, длина этой высоты $BH = h$. Основание высоты, точка $H$, делит сторону $AC$ на два отрезка: $AH = k$ и $HC = l$.

Для нахождения отрезков, на которые высота $BH$ делится другой высотой, проведем еще одну высоту, например, высоту $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Пусть высоты $BH$ и $AD$ пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является ортоцентром треугольника. Эта точка делит высоту $BH$ на два отрезка: $BO$ и $OH$. Нам нужно найти длины этих отрезков.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle AOH$ и $\triangle CBH$.

1. Так как $BH$ — высота, опущенная на сторону $AC$, то $BH \perp AC$. Следовательно, $\angle AHB = 90^\circ$ и $\angle CHB = 90^\circ$. Это означает, что $\triangle AOH$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $H$ ($\angle AHO = 90^\circ$), и $\triangle CBH$ также является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $H$ ($\angle CHB = 90^\circ$).

2. Найдем углы в этих треугольниках. В прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$ угол $\angle HBC = 90^\circ - \angle C$. Теперь рассмотрим угол $\angle OAH$. Так как точка $O$ лежит на высоте $AD$, то $\angle OAH = \angle DAH = \angle DAC$. Треугольник $\triangle ADC$ является прямоугольным, так как $AD$ — высота к стороне $BC$, следовательно $\angle ADC = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ угол $\angle DAC = 90^\circ - \angle C$. Таким образом, мы получили, что $\angle OAH = \angle HBC = 90^\circ - \angle C$.

3. Теперь мы можем заключить, что прямоугольные треугольники $\triangle AOH$ и $\triangle CBH$ подобны по двум углам (один угол прямой, а другой, $\angle OAH$, равен $\angle HBC$). Запишем соотношение для подобных треугольников $\triangle AOH \sim \triangle CBH$. Отношения соответствующих сторон равны. Сторона, лежащая напротив угла $90^\circ$, относится к стороне, лежащей напротив другого угла $90^\circ$. Сторона напротив $\angle OAH$ относится к стороне напротив $\angle HBC$, и сторона напротив $\angle AOH$ относится к стороне напротив $\angle C$.

$\frac{OH}{HC} = \frac{AH}{BH} = \frac{AO}{CB}$

Нас интересует первое равенство:

$\frac{OH}{HC} = \frac{AH}{BH}$

Подставим известные значения: $AH = k$, $HC = l$ и $BH = h$.

$\frac{OH}{l} = \frac{k}{h}$

Отсюда находим длину отрезка $OH$:

$OH = \frac{k \cdot l}{h}$

4. Второй отрезок, $BO$, можно найти, зная общую длину высоты $BH = h$ и длину одного из ее отрезков $OH$.

$BO = BH - OH = h - \frac{kl}{h} = \frac{h^2 - kl}{h}$

Таким образом, высота $h$ делится другой высотой на отрезки длиной $\frac{kl}{h}$ и $\frac{h^2 - kl}{h}$.

Ответ: отрезки, на которые разделяется высота, равны $\frac{kl}{h}$ и $\frac{h^2 - kl}{h}$.