Номер 419, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

419. Используя рисунок 305, на котором около окружности описан квадрат и в нее вписан правильный шестиугольник, докажите, что число $ \pi $ заключено между числами 3 и 4.

Рис. 305

Для доказательства данного утверждения воспользуемся известным свойством: длина окружности больше периметра любого вписанного в нее выпуклого многоугольника и меньше периметра любого описанного около нее выпуклого многоугольника.

Пусть радиус окружности равен $R$. Тогда ее длина (длина окружности) $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$.

1. Найдем периметр вписанного правильного шестиугольника ($P_{впис}$).

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу. Обозначим сторону шестиугольника $a_6$. Таким образом, $a_6 = R$.
Периметр шестиугольника — это сумма длин всех его шести сторон: $P_{впис} = 6 \cdot a_6 = 6R$.

2. Найдем периметр описанного квадрата ($P_{опис}$).

Сторона квадрата, описанного около окружности, равна диаметру этой окружности. Обозначим сторону квадрата $a_4$. Диаметр окружности $D = 2R$. Таким образом, $a_4 = 2R$.
Периметр квадрата — это сумма длин всех его четырех сторон: $P_{опис} = 4 \cdot a_4 = 4 \cdot (2R) = 8R$.

3. Составим и решим неравенство.

Исходя из упомянутого выше свойства, периметр вписанного шестиугольника меньше длины окружности, а длина окружности, в свою очередь, меньше периметра описанного квадрата. Запишем это в виде двойного неравенства: $P_{впис} < C < P_{опис}$

Теперь подставим в это неравенство полученные выражения для периметров и длины окружности: $6R < 2\pi R < 8R$

Поскольку радиус $R$ — это длина, то он является положительной величиной ($R > 0$). Мы можем разделить все части неравенства на $2R$, при этом знаки неравенства не изменятся: $\frac{6R}{2R} < \frac{2\pi R}{2R} < \frac{8R}{2R}$

После сокращения дробей получаем искомое неравенство: $3 < \pi < 4$

Таким образом, мы доказали, что число $\pi$ заключено между числами 3 и 4.

Ответ: Утверждение, что число $\pi$ заключено между 3 и 4, доказано.