Номер 425, страница 148 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

425. Найдите радиус круга, который касается двух внешне касающихся окружностей с радиусами $r$ и $R$ и их общей касательной (рис. 306).

Рис. 306

Обозначим искомый радиус через $x$. Пусть $O_1$, $O_2$ и $O_3$ — центры окружностей с радиусами $r$, $R$ и $x$ соответственно. Пусть общая касательная касается этих окружностей в точках $T_1$, $T_2$ и $T_3$.

Сначала найдем общую формулу для длины отрезка внешней касательной между точками касания для двух окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$, которые касаются друг друга внешним образом. Расстояние между центрами таких окружностей равно $r_1 + r_2$. Проведем из центра меньшей окружности (например, с радиусом $r_1$) прямую, параллельную общей касательной. Эта прямая пересечет радиус большей окружности, проведенный в точку касания, в некоторой точке $C$. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна расстоянию между центрами ($r_1 + r_2$), один катет равен разности радиусов ($r_2 - r_1$), а второй катет равен искомой длине отрезка касательной, обозначим ее $L$.

По теореме Пифагора:

$L^2 + (r_2 - r_1)^2 = (r_1 + r_2)^2$

$L^2 = (r_1 + r_2)^2 - (r_2 - r_1)^2$

$L^2 = (r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2) - (r_2^2 - 2r_1r_2 + r_1^2)$

$L^2 = 4r_1r_2$

$L = 2\sqrt{r_1r_2}$

Теперь применим эту формулу к трем парам касающихся окружностей в нашей задаче:

• Длина отрезка касательной между точками касания окружностей с радиусами $r$ и $R$ равна $T_1T_2 = 2\sqrt{rR}$.
• Длина отрезка касательной между точками касания окружностей с радиусами $r$ и $x$ равна $T_1T_3 = 2\sqrt{rx}$.
• Длина отрезка касательной между точками касания окружностей с радиусами $R$ и $x$ равна $T_2T_3 = 2\sqrt{Rx}$.

Точка касания $T_3$ лежит на отрезке $T_1T_2$. Следовательно, длина всего отрезка равна сумме длин его частей:

$T_1T_2 = T_1T_3 + T_2T_3$

Подставим полученные выражения в это равенство:

$2\sqrt{rR} = 2\sqrt{rx} + 2\sqrt{Rx}$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sqrt{rR} = \sqrt{rx} + \sqrt{Rx}$

Можно вынести $\sqrt{x}$ за скобки: $\sqrt{rR} = \sqrt{x}(\sqrt{r} + \sqrt{R})$.

Для дальнейшего решения разделим обе части уравнения $\sqrt{rR} = \sqrt{rx} + \sqrt{Rx}$ на $\sqrt{rRx}$:

$\frac{\sqrt{rR}}{\sqrt{rRx}} = \frac{\sqrt{rx}}{\sqrt{rRx}} + \frac{\sqrt{Rx}}{\sqrt{rRx}}$

После сокращения получаем элегантное соотношение:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{R}} + \frac{1}{\sqrt{r}}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{r} + \sqrt{R}}{\sqrt{rR}}$

Теперь выразим $\sqrt{x}$, перевернув дробь:

$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{rR}}{\sqrt{r} + \sqrt{R}}$

Чтобы найти $x$, возведем обе части в квадрат:

$x = \left(\frac{\sqrt{rR}}{\sqrt{r} + \sqrt{R}}\right)^2 = \frac{rR}{(\sqrt{r} + \sqrt{R})^2}$

Раскрыв скобки в знаменателе, можно также записать ответ в виде: $x = \frac{rR}{r + R + 2\sqrt{rR}}$.

Ответ: $x = \frac{rR}{(\sqrt{r} + \sqrt{R})^2}$.