Номер 432, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

432. Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, учиты-вая, что углы между противоположными сторонами равны $ \alpha $ и $ \beta $ (рис. 309).

Рис. 309

Пусть $ABCD$ — данный вписанный четырехугольник, а его внутренние углы равны $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$.

По свойству вписанного четырехугольника, суммы его противоположных углов равны $180^\circ$:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 180^\circ$

По условию, углы между продолжениями противоположных сторон равны $\alpha$ и $\beta$. Пусть прямые, содержащие стороны $AD$ и $BC$, пересекаются в точке $P$, а прямые, содержащие стороны $AB$ и $DC$, пересекаются в точке $Q$.

Рассмотрим две возможные конфигурации для пересечения сторон.

1. Нахождение соотношения с углом $\alpha$

Пусть продолжения сторон $AD$ и $BC$ за точки $D$ и $C$ пересекаются в точке $P$ под углом $\alpha$. Рассмотрим треугольник $PDC$.

• $\angle DPC = \alpha$.
• Угол $\angle PDC$ является внешним углом четырехугольника при вершине $D$, поэтому $\angle PDC = 180^\circ - \angle D$.
• Угол $\angle PCD$ является внешним углом четырехугольника при вершине $C$, поэтому $\angle PCD = 180^\circ - \angle C$.

Сумма углов в треугольнике $PDC$ равна $180^\circ$:

$\angle DPC + \angle PDC + \angle PCD = 180^\circ$

$\alpha + (180^\circ - \angle D) + (180^\circ - \angle C) = 180^\circ$

$\alpha + 180^\circ - \angle D - \angle C = 0$

$\angle C + \angle D = 180^\circ + \alpha$

Так как $\angle D = 180^\circ - \angle B$, подставим это в полученное равенство:

$\angle C + (180^\circ - \angle B) = 180^\circ + \alpha$

$\angle C - \angle B = \alpha$ (1)

2. Нахождение соотношения с углом $\beta$

Пусть продолжения сторон $BA$ и $CD$ за точки $A$ и $D$ пересекаются в точке $Q$ под углом $\beta$. Рассмотрим треугольник $QAD$.

• $\angle AQD = \beta$.
• Угол $\angle QAD$ является внешним углом четырехугольника при вершине $A$, поэтому $\angle QAD = 180^\circ - \angle A$.
• Угол $\angle QDA$ является внешним углом четырехугольника при вершине $D$, поэтому $\angle QDA = 180^\circ - \angle D$.

Сумма углов в треугольнике $QAD$ равна $180^\circ$:

$\angle AQD + \angle QAD + \angle QDA = 180^\circ$

$\beta + (180^\circ - \angle A) + (180^\circ - \angle D) = 180^\circ$

$\beta + 180^\circ - \angle A - \angle D = 0$

$\angle A + \angle D = 180^\circ + \beta$ (2)

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему уравнений:

1. $\angle C - \angle B = \alpha$
2. $\angle A + \angle D = 180^\circ + \beta$
3. $\angle A + \angle C = 180^\circ$
4. $\angle B + \angle D = 180^\circ$

Из (3) выразим $\angle A = 180^\circ - \angle C$. Из (4) выразим $\angle B = 180^\circ - \angle D$.

Подставим $\angle B$ в уравнение (1):

$\angle C - (180^\circ - \angle D) = \alpha \implies \angle C + \angle D = 180^\circ + \alpha$. (Это подтверждает нашу первую выкладку).

Подставим $\angle A = 180^\circ - \angle C$ в уравнение (2):

$(180^\circ - \angle C) + \angle D = 180^\circ + \beta \implies \angle D - \angle C = \beta$ (5)

Теперь у нас есть система из двух уравнений для $\angle C$ и $\angle D$:

$\angle C + \angle D = 180^\circ + \alpha$

$\angle D - \angle C = \beta$ (или $\angle C - \angle D = -\beta$)

Сложим эти два уравнения:

$2\angle D = 180^\circ + \alpha + \beta \implies \angle D = \frac{180^\circ + \alpha + \beta}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha + \beta}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$2\angle C = 180^\circ + \alpha - \beta \implies \angle C = \frac{180^\circ + \alpha - \beta}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}$

Теперь найдем оставшиеся углы $\angle A$ и $\angle B$:

$\angle A = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - (90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}) = 90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2} = 90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2}$

$\angle B = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - (90^\circ + \frac{\alpha + \beta}{2}) = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$

Таким образом, мы нашли все четыре угла четырехугольника.

Ответ: Углы вписанного четырехугольника равны:

$90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$, $90^\circ + \frac{\alpha + \beta}{2}$, $90^\circ + \frac{\alpha - \beta}{2}$, $90^\circ + \frac{\beta - \alpha}{2}$.

Конкретное значение (A, B, C или D) для каждого выражения зависит от того, какие именно пары противоположных сторон образуют углы $\alpha$ и $\beta$. Однако набор из четырех углов всегда будет таким.