Номер 436, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

436. Докажите, что хорды двух:

а) пересекающихся окружностей, соединяющие точки пересечения с ними двух секущих, проходящих через точки пересечения окружностей, параллельны друг другу (рис. 310);

б) касающихся окружностей, которые соединяют точки пересечения с ними двух секущих, проходящих через точку касания окружностей, параллельны друг другу (рис. 311).

а)

Пусть две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть секущая, проходящая через точку $P$, пересекает окружность $\omega_1$ в точке $A$ и окружность $\omega_2$ в точке $B$ (таким образом, точки $A, P, B$ лежат на одной прямой). Пусть другая секущая, проходящая через точку $Q$, пересекает окружность $\omega_1$ в точке $C$ и окружность $\omega_2$ в точке $D$ (точки $C, Q, D$ лежат на одной прямой). Требуется доказать, что хорда $AC$ параллельна хорде $BD$.

Рассмотрим четырехугольник $ACQP$, который вписан в окружность $\omega_1$. По свойству вписанного четырехугольника сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ACQ + \angle APQ = 180^\circ$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $BDQP$, вписанный в окружность $\omega_2$. Аналогично, $\angle QDB + \angle QPB = 180^\circ$.

Поскольку точки $A, P, B$ лежат на одной прямой, углы $\angle APQ$ и $\angle BPQ$ (он же $\angle QPB$) являются смежными. Значит, их сумма равна $180^\circ$: $\angle APQ + \angle BPQ = 180^\circ$, откуда $\angle BPQ = 180^\circ - \angle APQ$.

Подставим это выражение в равенство для углов четырехугольника $BDQP$:
$\angle QDB + (180^\circ - \angle APQ) = 180^\circ$
$\angle QDB = \angle APQ$.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и секущую $CD$. Углы $\angle ACQ$ и $\angle QDB$ являются внутренними односторонними углами при этих прямых и секущей. Найдем их сумму, используя полученные ранее соотношения:
Из свойства четырехугольника $ACQP$ имеем: $\angle ACQ = 180^\circ - \angle APQ$.
Сумма углов равна: $\angle ACQ + \angle QDB = (180^\circ - \angle APQ) + \angle APQ = 180^\circ$.

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то по признаку параллельности прямых, прямая $AC$ параллельна прямой $BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются в точке $P$. Пусть две секущие проходят через точку $P$. Первая секущая пересекает $\omega_1$ в точке $A$ и $\omega_2$ в точке $B$. Вторая секущая пересекает $\omega_1$ в точке $C$ и $\omega_2$ в точке $D$. Таким образом, точки $A, P, B$ лежат на одной прямой, и точки $C, P, D$ лежат на другой прямой. Требуется доказать, что хорда $AC$ параллельна хорде $BD$.

Проведем через точку касания $P$ общую касательную $t$ к обеим окружностям.

Рассмотрим окружность $\omega_1$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $t$ и хордой $PC$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. То есть, угол, образованный касательной $t$ и прямой $CD$, равен $\angle PAC$. Обозначим его $\angle(t, CD)$. Таким образом, $\angle(t, CD) = \angle PAC$.

Рассмотрим окружность $\omega_2$. Аналогично, по теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $t$ и хордой $PD$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Так как хорда $PD$ лежит на той же прямой $CD$, то $\angle(t, CD) = \angle PBD$.

Из равенств, полученных выше, следует, что $\angle PAC = \angle PBD$.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и секущую $AB$. Углы $\angle PAC$ и $\angle PBD$ являются соответственными углами при этих прямых и секущей. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $AC$ параллельна прямой $BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.