Номер 443, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

443. Прямоугольный сектор с радиусом $r$, дугой с таким же радиусом и с центром в конце дуги сектора $r$ разделен на две части (рис. 313). Найдите радиус круга, вписанного:

а) в меньшую часть;

б) в большую часть.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина прямоугольного сектора находится в начале координат $O(0,0)$. Радиусы сектора лежат на осях координат: $OA$ на оси $Ox$ и $OB$ на оси $Oy$. Таким образом, $A$ имеет координаты $(r,0)$, а $B$ — $(0,r)$. Дуга сектора — это дуга $AB$ окружности с центром в $O$ и радиусом $r$, ее уравнение $x^2+y^2=r^2$ для $x \ge 0, y \ge 0$.

Сектор разделен на две части дугой "с таким же радиусом и с центром в конце дуги сектора". Концами дуги сектора являются точки $A(r,0)$ и $B(0,r)$. На рисунке 313 показано, что одна из полученных частей (розовая) меньше другой (серая). В меньшую часть вписан круг меньшего радиуса, а в большую — большего. Меньшая, розовая часть прилегает к радиусу $OB$ (ось $Oy$). Чтобы эта часть была меньшей по площади, центр делящей дуги должен находиться в точке $A(r,0)$.

Таким образом, делящая дуга является частью окружности с центром в $A(r,0)$ и радиусом $r$. Уравнение этой окружности: $(x-r)^2 + y^2 = r^2$. Эта дуга проходит через начало координат $O(0,0)$.

В результате сектор делится на две области:

• Меньшая часть (на рисунке розовая) — область, ограниченная отрезком $OB$, дугой сектора $AB$ и делящей дугой с центром в $A$.
• Большая часть (на рисунке серая) — область, ограниченная отрезком $OA$, дугой сектора $AB$ и делящей дугой с центром в $A$.

а) в меньшую часть

Найдем радиус $r_a$ круга, вписанного в меньшую часть. Эта область ограничена:

1. отрезком $OB$ (линия $x=0$)
2. дугой сектора (часть окружности $x^2+y^2=r^2$ с центром в $O(0,0)$)
3. делящей дугой (часть окружности $(x-r)^2+y^2=r^2$ с центром в $A(r,0)$)

Пусть центр вписанного круга имеет координаты $(x_a, y_a)$, а его радиус равен $r_a$.

Условия касания:

1. Круг касается прямой $x=0$ (ось $Oy$). Это означает, что координата $x_a$ центра равна радиусу: $x_a = r_a$.
2. Круг касается дуги сектора с центром в $O(0,0)$ изнутри. Расстояние между центрами равно разности радиусов: $\sqrt{x_a^2 + y_a^2} = r - r_a$. Подставив $x_a=r_a$, получаем: $\sqrt{r_a^2 + y_a^2} = r - r_a$ Возводим обе части в квадрат: $r_a^2 + y_a^2 = (r - r_a)^2 = r^2 - 2rr_a + r_a^2$ $y_a^2 = r^2 - 2rr_a$ (1)
3. Круг касается делящей дуги с центром в $A(r,0)$ извне. Эта дуга вогнута относительно рассматриваемой области. Расстояние между центрами равно сумме радиусов: $\sqrt{(x_a-r)^2 + y_a^2} = r + r_a$. Подставив $x_a=r_a$: $\sqrt{(r_a-r)^2 + y_a^2} = r + r_a$ Возводим обе части в квадрат: $(r_a-r)^2 + y_a^2 = (r + r_a)^2$ $r_a^2 - 2rr_a + r^2 + y_a^2 = r^2 + 2rr_a + r_a^2$ $y_a^2 = 4rr_a$ (2)

Теперь приравняем выражения для $y_a^2$ из уравнений (1) и (2):

$r^2 - 2rr_a = 4rr_a$

$r^2 = 6rr_a$

Поскольку $r \neq 0$, делим на $r$:

$r = 6r_a$

$r_a = \frac{r}{6}$

Ответ: $r_a = \frac{r}{6}$

б) в большую часть

Найдем радиус $r_b$ круга, вписанного в большую часть. Эта область ограничена:

1. отрезком $OA$ (линия $y=0$)
2. дугой сектора (часть окружности $x^2+y^2=r^2$ с центром в $O(0,0)$)
3. делящей дугой (часть окружности $(x-r)^2+y^2=r^2$ с центром в $A(r,0)$)

Пусть центр вписанного круга имеет координаты $(x_b, y_b)$, а его радиус равен $r_b$.

Условия касания:

1. Круг касается прямой $y=0$ (ось $Ox$). Это означает, что координата $y_b$ центра равна радиусу: $y_b = r_b$.
2. Круг касается дуги сектора с центром в $O(0,0)$ изнутри. Расстояние между центрами равно разности радиусов: $\sqrt{x_b^2 + y_b^2} = r - r_b$. Подставив $y_b=r_b$: $\sqrt{x_b^2 + r_b^2} = r - r_b$ Возводим обе части в квадрат: $x_b^2 + r_b^2 = (r - r_b)^2 = r^2 - 2rr_b + r_b^2$ $x_b^2 = r^2 - 2rr_b$ (3)
3. Круг касается делящей дуги с центром в $A(r,0)$ изнутри. Эта дуга выпукла относительно рассматриваемой области. Расстояние между центрами равно разности радиусов: $\sqrt{(x_b-r)^2 + y_b^2} = r - r_b$. Подставив $y_b=r_b$: $\sqrt{(x_b-r)^2 + r_b^2} = r - r_b$ Возводим обе части в квадрат: $(x_b-r)^2 + r_b^2 = (r - r_b)^2$ $x_b^2 - 2rx_b + r^2 + r_b^2 = r^2 - 2rr_b + r_b^2$ $x_b^2 = 2rx_b - 2rr_b$ (4)

Теперь приравняем выражения для $x_b^2$ из уравнений (3) и (4):

$r^2 - 2rr_b = 2rx_b - 2rr_b$

$r^2 = 2rx_b$

Поскольку $r \neq 0$, делим на $r$:

$r = 2x_b \implies x_b = \frac{r}{2}$

Подставим значение $x_b$ в уравнение (3):

$(\frac{r}{2})^2 = r^2 - 2rr_b$

$\frac{r^2}{4} = r^2 - 2rr_b$

$2rr_b = r^2 - \frac{r^2}{4} = \frac{3r^2}{4}$

Делим на $2r$:

$r_b = \frac{3r}{8}$

Ответ: $r_b = \frac{3r}{8}$