Номер 444, страница 151 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

444. Установите, может ли:

Рис. 313

а) вписанный многоугольник иметь равные углы и неравные стороны;

б) вписанный многоугольник иметь равные стороны и неравные углы;

в) описанный многоугольник иметь равные углы и неравные стороны;

г) описанный многоугольник иметь равные стороны и неравные углы.

а) вписанный многоугольник иметь равные углы и неравные стороны;

Да, может.
Рассмотрим в качестве примера прямоугольник, не являющийся квадратом. Все углы прямоугольника равны $90^\circ$. Любой прямоугольник можно вписать в окружность, центр которой находится в точке пересечения его диагоналей. В таком прямоугольнике противоположные стороны равны, но смежные стороны имеют разную длину. Таким образом, прямоугольник (не квадрат) является вписанным многоугольником с равными углами и неравными сторонами.
Ответ: может.

б) вписанный многоугольник иметь равные стороны и неравные углы;

Нет, не может.
Пусть вписанный $n$-угольник $A_1A_2...A_n$ имеет равные стороны: $A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$. В одной и той же окружности равные хорды (стороны многоугольника) стягивают равные дуги. Следовательно, дуги, на которые вершины многоугольника делят окружность, равны между собой: $\smile A_1A_2 = \smile A_2A_3 = ... = \smile A_nA_1 = \frac{360^\circ}{n}$.
Каждый угол многоугольника является вписанным в окружность. Например, угол $\angle A_1$ опирается на дугу $A_2A_3...A_n$. Эта дуга состоит из $n-2$ равных дуг, поэтому её градусная мера равна $(n-2) \cdot \frac{360^\circ}{n}$. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается: $\angle A_1 = \frac{1}{2} (n-2) \frac{360^\circ}{n} = \frac{(n-2)180^\circ}{n}$.
Поскольку все элементарные дуги $\smile A_iA_{i+1}$ равны, то и все углы многоугольника, каждый из которых опирается на $n-2$ таких дуг, будут равны между собой. Таким образом, вписанный многоугольник с равными сторонами всегда имеет равные углы (т.е. является правильным).
Ответ: не может.

в) описанный многоугольник иметь равные углы и неравные стороны;

Нет, не может.
Пусть многоугольник $A_1A_2...A_n$ описан около окружности с центром $O$ и радиусом $r$. Предположим, что все его углы равны. Центр вписанной окружности $O$ является точкой пересечения биссектрис углов многоугольника.
Пусть $T_1, T_2, ..., T_n$ – точки касания окружности со сторонами $A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1$ соответственно. По свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны: $A_iT_{i-1} = A_iT_i$. Обозначим эту длину как $t_i$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OA_iT_i$. В нем катет $OT_i = r$, а противолежащий ему угол $\angle OA_iT_i$ равен половине угла многоугольника $\angle A_i$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $t_i = A_iT_i = \frac{r}{\tan(\angle A_i/2)}$.
Так как по условию все углы $\angle A_i$ равны, то равны и их половины $\angle A_i/2$. Поскольку радиус $r$ также является постоянной величиной, то все отрезки $t_i$ должны быть равны: $t_1 = t_2 = ... = t_n$.
Длина стороны многоугольника $A_iA_{i+1}$ равна сумме $t_i + t_{i+1}$. Так как все $t_i$ равны, то и все стороны многоугольника равны между собой. Следовательно, описанный многоугольник с равными углами обязательно имеет и равные стороны (т.е. является правильным).
Ответ: не может.

г) описанный многоугольник иметь равные стороны и неравные углы.

Да, может.
Рассмотрим ромб, который не является квадратом. У ромба все стороны равны. Согласно теореме Пи́то, в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для ромба со стороной $a$ это условие выполняется: $a+a=a+a$. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность.
При этом, если ромб не является квадратом, его углы не равны (два противолежащих угла острые, а два других – тупые). Таким образом, ромб (не квадрат) является примером описанного многоугольника, у которого все стороны равны, а углы не равны.
Ответ: может.