Номер 451, страница 152 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

451. Конец $B$ хорды $AB$ окружности с радиусом $R$ является центром окружности с радиусом $n$, пересекающей данную окружность в точках $P$ и $Q$ (рис. 317). Найдите хорды $AP$ и $AQ$, учитывая, что хорда $AB$ равна $m$.

Рис. 317

Обозначим первую окружность, на которой лежат точки $A$, $B$, $P$ и $Q$, как $O_1$. Ее радиус по условию равен $R$. Вторую окружность с центром в точке $B$ и радиусом $n$ обозначим как $O_2$. Точки $P$ и $Q$ являются точками пересечения этих двух окружностей.

Поскольку точки $P$ и $Q$ лежат на окружности $O_2$ с центром в $B$, отрезки $BP$ и $BQ$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны: $BP = BQ = n$.

Рассмотрим отрезки $BP$ и $BQ$ как хорды первой окружности $O_1$. Так как длины этих хорд равны, то они стягивают равные дуги: $\cup BP = \cup BQ$.

Вписанные в окружность $O_1$ углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Угол $\angle BAP$ опирается на дугу $BP$, а угол $\angle BAQ$ — на дугу $BQ$. Таким образом, $\angle BAP = \angle BAQ$. Обозначим величину этих равных углов через $\phi$.

Применим расширенную теорему синусов к треугольнику $ABP$, все вершины которого лежат на окружности $O_1$ с радиусом $R$: $$ \frac{BP}{\sin(\angle BAP)} = 2R $$ Подставив известные значения $BP=n$ и $\angle BAP = \phi$, получаем: $$ \frac{n}{\sin(\phi)} = 2R $$ Отсюда выражаем синус угла $\phi$: $$ \sin(\phi) = \frac{n}{2R} $$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1$, найдем косинус угла $\phi$. Будем считать угол $\phi$ острым, так как конечный результат не зависит от этого выбора благодаря наличию двух корней в квадратном уравнении. $$ \cos(\phi) = \sqrt{1 - \sin^2(\phi)} = \sqrt{1 - \left(\frac{n}{2R}\right)^2} = \sqrt{\frac{4R^2 - n^2}{4R^2}} = \frac{\sqrt{4R^2 - n^2}}{2R} $$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $ABP$: $$ BP^2 = AP^2 + AB^2 - 2 \cdot AP \cdot AB \cdot \cos(\angle BAP) $$ Подставим известные значения $AB = m$, $BP = n$ и $\angle BAP = \phi$: $$ n^2 = AP^2 + m^2 - 2 \cdot AP \cdot m \cdot \cos(\phi) $$ Перепишем это выражение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $AP$: $$ AP^2 - (2m \cos(\phi)) \cdot AP + (m^2 - n^2) = 0 $$

Если мы проделаем те же действия для треугольника $ABQ$, то получим точно такое же уравнение для стороны $AQ$, поскольку $BQ=n$ и $\angle BAQ = \phi$. $$ AQ^2 - (2m \cos(\phi)) \cdot AQ + (m^2 - n^2) = 0 $$ Это означает, что искомые длины $AP$ и $AQ$ являются двумя корнями одного и того же квадратного уравнения: $$ x^2 - (2m \cos(\phi))x + (m^2 - n^2) = 0 $$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $\cos(\phi)$: $$ x^2 - \left(2m \cdot \frac{\sqrt{4R^2 - n^2}}{2R}\right)x + (m^2 - n^2) = 0 $$ $$ x^2 - \left(\frac{m}{R}\sqrt{4R^2 - n^2}\right)x + (m^2 - n^2) = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$: $$ D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{m}{R}\sqrt{4R^2 - n^2}\right)^2 - 4(m^2 - n^2) $$ $$ D = \frac{m^2}{R^2}(4R^2 - n^2) - 4m^2 + 4n^2 = 4m^2 - \frac{m^2n^2}{R^2} - 4m^2 + 4n^2 $$ $$ D = 4n^2 - \frac{m^2n^2}{R^2} = \frac{4n^2R^2 - m^2n^2}{R^2} = \frac{n^2(4R^2 - m^2)}{R^2} $$ Корни уравнения $x_{1,2}$ (то есть длины $AP$ и $AQ$) равны: $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{m}{R}\sqrt{4R^2 - n^2} \pm \sqrt{\frac{n^2(4R^2 - m^2)}{R^2}}}{2} $$ $$ x_{1,2} = \frac{\frac{m}{R}\sqrt{4R^2 - n^2} \pm \frac{n}{R}\sqrt{4R^2 - m^2}}{2} $$ $$ x_{1,2} = \frac{1}{2R} \left( m\sqrt{4R^2 - n^2} \pm n\sqrt{4R^2 - m^2} \right) $$

Ответ: Длины хорд $AP$ и $AQ$ равны $\frac{1}{2R} \left( m\sqrt{4R^2 - n^2} + n\sqrt{4R^2 - m^2} \right)$ и $\frac{1}{2R} \left( m\sqrt{4R^2 - n^2} - n\sqrt{4R^2 - m^2} \right)$.