Номер 455, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

455. Основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$ и $d$.

Найдите:

а) диагонали трапеции;

б) площадь трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, у которой основания $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно ($AD \parallel BC$), а боковые стороны $AB$ и $CD$ равны $c$ и $d$. Мы ищем формулы для вычисления длин диагоналей $AC$ и $BD$, а также площади трапеции $S$. Для решения задачи будем использовать метод координат и геометрические построения. Предполагаем, что $a \ne b$, иначе это параллелограмм, и задача становится иной.

Для определённости, расположим вершины трапеции в следующем порядке: $A, B, C, D$. Тогда $AD = a, BC = b, AB = c, CD = d$. Диагонали трапеции — это отрезки $AC$ и $BD$.

Для нахождения длин диагоналей воспользуемся методом, основанным на дополнительном построении. Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает основание $AD$ (или его продолжение) в точке $E$.

В полученном четырехугольнике $ABCE$ стороны $BC$ и $AE$ параллельны (так как лежат на прямых, содержащих основания трапеции), а стороны $AB$ и $CE$ параллельны по построению. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм. Из этого следует, что $CE = AB = c$ и $AE = BC = b$.

Рассмотрим треугольник $CED$. Его стороны: $CE=c$, $CD=d$. Длина стороны $ED$ равна модулю разности длин оснований: $ED = |AD - AE| = |a-b|$.

Теперь мы можем найти диагонали, используя теорему косинусов.

1. Найдём диагональ $BD$.Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов:$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$$BD^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cos(\angle A)$Угол $\angle A$ трапеции ($\angle DAB$) связан с углом $\angle CED$ треугольника $CED$. Так как $CE \parallel AB$, то $\angle DAB + \angle AEC = 180^\circ$. Если точка $E$ лежит на отрезке $AD$ (случай $a > b$), то $\angle AEC + \angle CED = 180^\circ$. Отсюда $\angle DAB = \angle CED$. Если точка $A$ лежит между $E$ и $D$ (случай $b > a$), то $\angle DAB = \angle CED$. В любом случае, $\cos(\angle A) = \cos(\angle CED)$. Из треугольника $CED$ по теореме косинусов для стороны $CD$:$d^2 = c^2 + (a-b)^2 - 2c|a-b|\cos(\angle CED)$Так как $\cos(\angle A) = \cos(\angle CED)$, то $2c|a-b|\cos(\angle A) = c^2 + (a-b)^2 - d^2$.$\cos(\angle A) = \frac{c^2 + (a-b)^2 - d^2}{2c|a-b|}$. Подставим это в формулу для $BD^2$:$BD^2 = c^2 + a^2 - 2ac \cdot \frac{c^2 + (a-b)^2 - d^2}{2c|a-b|} = c^2 + a^2 - a \frac{c^2 + (a-b)^2 - d^2}{|a-b|}$Приводя к общему знаменателю (для определённости пусть $a>b$, тогда $|a-b|=a-b$):$BD^2 = \frac{(c^2+a^2)(a-b) - a(c^2 + a^2 - 2ab + b^2 - d^2)}{a-b}$$BD^2 = \frac{ac^2-bc^2+a^3-a^2b - ac^2 - a^3 + 2a^2b - ab^2 + ad^2}{a-b}$$BD^2 = \frac{ad^2 - bc^2 + a^2b - ab^2}{a-b} = \frac{ad^2 - bc^2 + ab(a-b)}{a-b}$$BD^2 = ab + \frac{ad^2 - bc^2}{a-b}$Эта формула оказывается верной и при $b>a$.

2. Найдём диагональ $AC$.Для нахождения $AC$ можно провести аналогичное построение (прямую через $B$ параллельно $CD$) или использовать треугольник $ACD$. Проще всего снова использовать треугольник $ACE$. По теореме косинусов в $\triangle ACE$:$AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2 \cdot AE \cdot CE \cdot \cos(\angle AEC)$$AC^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle AEC)$Так как $\angle AEC + \angle CED = 180^\circ$, то $\cos(\angle AEC) = -\cos(\angle CED)$.$AC^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos(\angle CED)$Из выражения для $\cos(\angle CED)$ выше:$AC^2 = b^2 + c^2 + 2bc \frac{c^2 + (a-b)^2 - d^2}{2c|a-b|} = b^2 + c^2 + b \frac{c^2+(a-b)^2-d^2}{|a-b|}$Выполнив аналогичные алгебраические преобразования, получим:$AC^2 = ab + \frac{ac^2 - bd^2}{a-b}$

Таким образом, квадраты длин диагоналей трапеции $AC$ и $BD$ равны:

$d_1^2 = AC^2 = ab + \frac{ac^2 - bd^2}{a-b}$

$d_2^2 = BD^2 = ab + \frac{ad^2 - bc^2}{a-b}$

Важно отметить, что эти формулы соответствуют трапеции $ABCD$, где стороны перечисляются по порядку обхода. Если поменять местами боковые стороны $c$ и $d$, то значения квадратов диагоналей поменяются местами.

Ответ: Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны, примыкающие к основанию $a$ и затем к основанию $b$ при последовательном обходе вершин, равны $c$ и $d$. Тогда квадраты диагоналей $d_1$ и $d_2$ равны: $d_1^2 = ab + \frac{ac^2 - bd^2}{a-b}$ и $d_2^2 = ab + \frac{ad^2 - bc^2}{a-b}$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $h$ — высота трапеции.

Высоту $h$ можно найти из рассмотренного в пункте а) треугольника $CED$ со сторонами $c$, $d$ и $|a-b|$. Высота трапеции $h$ совпадает с высотой этого треугольника, опущенной на сторону длиной $|a-b|$.

Площадь треугольника $CED$ ($S_{CED}$) можно найти по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр $p_{CED}$ треугольника $CED$:$p_{CED} = \frac{c+d+|a-b|}{2}$Тогда площадь треугольника $CED$:$S_{CED} = \sqrt{p_{CED}(p_{CED}-c)(p_{CED}-d)(p_{CED}-|a-b|)}$С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через основание и высоту:$S_{CED} = \frac{1}{2}|a-b| \cdot h$Приравнивая два выражения для площади, находим высоту $h$:$h = \frac{2S_{CED}}{|a-b|} = \frac{2}{|a-b|}\sqrt{p_{CED}(p_{CED}-c)(p_{CED}-d)(p_{CED}-|a-b|)}$Подставим найденную высоту в формулу для площади трапеции:$S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{a+b}{2} \cdot \frac{2}{|a-b|}\sqrt{p_{CED}(p_{CED}-c)(p_{CED}-d)(p_{CED}-|a-b|)}$$S = \frac{a+b}{|a-b|} \sqrt{p_{CED}(p_{CED}-c)(p_{CED}-d)(p_{CED}-|a-b|)}$Для удобства можно выписать выражение под корнем полностью:Пусть $k = |a-b|$. Полупериметр $p = \frac{c+d+k}{2}$.$p-c = \frac{d+k-c}{2}$$p-d = \frac{c+k-d}{2}$$p-k = \frac{c+d-k}{2}$$p(p-c)(p-d)(p-k) = \frac{1}{16}(c+d+k)(d-c+k)(c-d+k)(c+d-k)$$S = \frac{a+b}{4|a-b|} \sqrt{(c+d+|a-b|)(d-c+|a-b|)(c-d+|a-b|)(c+d-|a-b|)}$

Ответ: Площадь трапеции равна $S = \frac{a+b}{4|a-b|} \sqrt{(c+d+|a-b|)(-c+d+|a-b|)(c-d+|a-b|)(c+d-|a-b|)}$.