Номер 457, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

457. Найдите разность квадратов диагоналей параллелограмма, учитывая, что:

а) его внутренняя точка отстоит от вершин на $a, b, c, d$;

б) его стороны равны $m$ и $n$, а площадь — $S$.

а) Пусть дан параллелограмм $ABCD$ и внутренняя точка $P$. Пусть расстояния от точки $P$ до вершин параллелограмма, взятых в последовательном порядке, равны $PA = a$, $PB = b$, $PC = c$ и $PD = d$. Диагоналями параллелограмма являются отрезки $AC$ и $BD$. Обозначим их длины как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Мы ищем разность квадратов диагоналей $d_1^2 - d_2^2$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Известно, что $O$ является серединой каждой из диагоналей, то есть $AO = OC = d_1/2$ и $BO = OD = d_2/2$.

Рассмотрим треугольник $PAC$. Отрезок $PO$ является медианой, проведенной к стороне $AC$. По формуле для длины медианы (или теореме Аполлония): $PA^2 + PC^2 = 2(PO^2 + AO^2)$. Подставив известные значения, получим: $a^2 + c^2 = 2(PO^2 + (d_1/2)^2) = 2PO^2 + d_1^2/2$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $PBD$. Отрезок $PO$ является медианой, проведенной к стороне $BD$. По той же теореме: $PB^2 + PD^2 = 2(PO^2 + BO^2)$. Подставив известные значения, получим: $b^2 + d^2 = 2(PO^2 + (d_2/2)^2) = 2PO^2 + d_2^2/2$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $(a^2 + c^2) - (b^2 + d^2) = (2PO^2 + d_1^2/2) - (2PO^2 + d_2^2/2)$. $a^2 + c^2 - b^2 - d^2 = d_1^2/2 - d_2^2/2 = \frac{1}{2}(d_1^2 - d_2^2)$.

Отсюда выразим искомую разность квадратов диагоналей: $d_1^2 - d_2^2 = 2(a^2 + c^2 - b^2 - d^2)$. Эта формула справедлива, если под $d_1$ понимать диагональ $AC$, а под $d_2$ — диагональ $BD$. Если бы мы искали $d_2^2 - d_1^2$, результат был бы с противоположным знаком. "Разность квадратов" может быть как положительной, так и отрицательной, поэтому мы предоставляем выражение для $d_{AC}^2 - d_{BD}^2$.

Ответ: $2(a^2 + c^2 - b^2 - d^2)$.

б) Пусть стороны параллелограмма равны $m$ и $n$, а его площадь равна $S$. Пусть $\alpha$ — угол между сторонами $m$ и $n$.

Площадь параллелограмма выражается формулой: $S = m \cdot n \cdot \sin\alpha$. Отсюда $\sin\alpha = \frac{S}{mn}$. Так как $\alpha$ — угол в параллелограмме, $0 < \alpha < 180^\circ$, то $\sin\alpha \ge 0$, что выполняется, так как $S, m, n$ — положительные величины.

Пусть $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей. Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения квадратов длин диагоналей. Одна диагональ, скажем $d_1$, лежит напротив угла $\alpha$. Другая диагональ, $d_2$, лежит напротив смежного с ним угла $180^\circ - \alpha$.

Для диагонали $d_2$ (которая соединяет вершины, между которыми находится угол $\alpha$): $d_2^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha$.

Для диагонали $d_1$ (которая соединяет вершины с углами $\alpha$): Угол, противолежащий этой диагонали в треугольнике со сторонами $m, n$, равен $180^\circ - \alpha$. $d_1^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos(180^\circ - \alpha) = m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha$.

Найдем разность квадратов диагоналей: $d_1^2 - d_2^2 = (m^2 + n^2 + 2mn\cos\alpha) - (m^2 + n^2 - 2mn\cos\alpha) = 4mn\cos\alpha$.

Теперь нам нужно выразить $\cos\alpha$ через известные величины $m, n, S$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{S}{mn}\right)^2 = \frac{m^2n^2 - S^2}{m^2n^2}$. Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{m^2n^2 - S^2}{m^2n^2}} = \pm\frac{\sqrt{m^2n^2 - S^2}}{mn}$.

Знак $\cos\alpha$ зависит от того, является ли угол $\alpha$ острым (тогда $\cos\alpha > 0$) или тупым (тогда $\cos\alpha < 0$). Поскольку по заданным $m, n, S$ можно построить два разных параллелограмма (один с острым углом, другой с тупым), то для разности квадратов диагоналей существует два возможных значения, отличающихся знаком.

Подставляя выражение для $\cos\alpha$ в формулу для разности квадратов: $d_1^2 - d_2^2 = 4mn \left(\pm\frac{\sqrt{m^2n^2 - S^2}}{mn}\right) = \pm 4\sqrt{m^2n^2 - S^2}$.

Если вопрос подразумевает нахождение разности квадратов большей и меньшей диагоналей, то результат будет $4\sqrt{m^2n^2 - S^2}$, так как эта величина всегда неотрицательна. Однако, в общем случае, разность $d_1^2 - d_2^2$ может быть как положительной, так и отрицательной.

Ответ: $\pm 4\sqrt{m^2n^2 - S^2}$.