Номер 464, страница 153 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

464*. Докажите, что:

а) два параллелограмма подобны, если у них есть по равному углу и их стороны пропорциональны;

б) два прямоугольника подобны, если они имеют пару пропорциональных смежных сторон;

в) два любых квадрата подобны.

а) два параллелограмма подобны, если у них есть по равному углу и их стороны пропорциональны;

По определению, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Рассмотрим два параллелограмма: $P_1$ со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними, и $P_2$ со сторонами $a_1$ и $b_1$ и углом $\alpha_1$ между ними.

1. Равенство углов. По условию, у параллелограммов есть по равному углу. Пусть это будут углы $\alpha$ и $\alpha_1$, то есть $\alpha = \alpha_1$. В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Тогда углы параллелограмма $P_1$ равны $\alpha$, $180^\circ - \alpha$, $\alpha$, $180^\circ - \alpha$. Аналогично, углы параллелограмма $P_2$ равны $\alpha_1$, $180^\circ - \alpha_1$, $\alpha_1$, $180^\circ - \alpha_1$. Поскольку $\alpha = \alpha_1$, то и $180^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha_1$. Таким образом, все соответствующие углы двух параллелограммов равны.

2. Пропорциональность сторон. По условию, их стороны пропорциональны. Это означает, что отношение длин соответствующих сторон постоянно. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Стороны $P_1$ равны $a, b, a, b$. Стороны $P_2$ равны $a_1, b_1, a_1, b_1$. Условие пропорциональности сторон означает, что существует коэффициент подобия $k$ такой, что $\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = k$. Тогда отношения всех соответствующих сторон равны: $\frac{a}{a_1} = k$, $\frac{b}{b_1} = k$, $\frac{a}{a_1} = k$, $\frac{b}{b_1} = k$. Таким образом, все соответствующие стороны пропорциональны.

Поскольку оба условия определения подобных многоугольников (равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон) выполнены, данные параллелограммы подобны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) два прямоугольника подобны, если они имеют пару пропорциональных смежных сторон;

Рассмотрим два прямоугольника: $R_1$ со смежными сторонами $a$ и $b$, и $R_2$ со смежными сторонами $a_1$ и $b_1$.

1. Равенство углов. Все углы любого прямоугольника прямые, то есть равны $90^\circ$. Следовательно, все соответствующие углы двух прямоугольников равны между собой.

2. Пропорциональность сторон. По условию, прямоугольники имеют пару пропорциональных смежных сторон. Это означает, что отношение их длин равно, то есть $\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = k$, где $k$ – коэффициент пропорциональности. Стороны прямоугольника $R_1$ равны $a, b, a, b$. Стороны прямоугольника $R_2$ равны $a_1, b_1, a_1, b_1$. Проверим пропорциональность всех соответствующих сторон: первая пара: $\frac{a}{a_1} = k$; вторая пара: $\frac{b}{b_1} = k$; третья пара (противолежащая первой): $\frac{a}{a_1} = k$; четвертая пара (противолежащая второй): $\frac{b}{b_1} = k$. Все отношения равны $k$, значит, соответствующие стороны пропорциональны.

Так как у двух прямоугольников все соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, они подобны по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) два любых квадрата подобны.

Рассмотрим два произвольных квадрата: $S_1$ со стороной $a$ и $S_2$ со стороной $a_1$.

1. Равенство углов. Квадрат является частным случаем прямоугольника, поэтому все его углы равны $90^\circ$. Таким образом, все соответствующие углы двух любых квадратов равны.

2. Пропорциональность сторон. У квадрата все стороны равны. У квадрата $S_1$ все стороны имеют длину $a$. У квадрата $S_2$ все стороны имеют длину $a_1$. Найдем отношение длин соответствующих сторон: $\frac{a}{a_1}$. Это отношение одинаково для всех четырех пар соответствующих сторон. Обозначим его как коэффициент подобия $k = \frac{a}{a_1}$. Следовательно, все соответствующие стороны двух квадратов пропорциональны.

Поскольку у любых двух квадратов соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, они подобны по определению подобных многоугольников.

Ответ: Что и требовалось доказать.