Номер 469, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

469. Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны $\beta$ и $\gamma$ соответственно, причем $\beta < \gamma$. Основание $D$ биссектрисы $AD$ соединено с такой точкой $E$ стороны $AB$, что $AE = AC$. Найдите угол $BDE$, учитывая, что отрезок $AD$ является биссектрисой:

а) внутреннего угла $D$ (рис. 319);

б) внешнего угла при вершине $D$ (рис. 320).

Введем обозначения: $\angle ABC = \beta$, $\angle ACB = \gamma$. По условию, AD — биссектриса угла A в треугольнике ABC. Следовательно, $\angle CAD = \angle BAD$. Обозначим этот угол как $\alpha$. Сумма углов в треугольнике ABC равна $180^\circ$, поэтому $\angle BAC = 180^\circ - (\beta + \gamma)$. Так как AD — биссектриса, то $\alpha = \angle CAD = \angle BAD = \frac{180^\circ - (\beta + \gamma)}{2} = 90^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle ADE$.

• $AC = AE$ по условию.
• Сторона AD — общая.
• $\angle CAD = \angle EAD = \alpha$ (так как E лежит на стороне AB, а AD — биссектриса $\angle BAC$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ADC \cong \triangle ADE$.

Из равенства треугольников $\triangle ADC \cong \triangle ADE$ следует:

1. $DC = DE$. Это означает, что треугольник CDE является равнобедренным.
2. $\angle ACD = \angle AED$. Так как $\angle ACD = \gamma$, то и $\angle AED = \gamma$.
3. $\angle ADC = \angle ADE$. Это означает, что отрезок AD является биссектрисой внутреннего угла D треугольника CDE, то есть угла $\angle CDE$.

а) AD является биссектрисой внутреннего угла D (рис. 319)

Как было показано выше, условие, что AD является биссектрисой внутреннего угла $\angle CDE$, является прямым следствием исходных данных задачи ($AE=AC$ и AD — биссектриса $\angle A$). Для нахождения угла $\angle BDE$ рассмотрим треугольник $\triangle BDE$.

• Угол при вершине B: $\angle DBE = \angle ABC = \beta$.
• Угол при вершине E: точки A, E, B лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle AED$ и $\angle BED$ — смежные, и их сумма равна $180^\circ$. Мы нашли, что $\angle AED = \gamma$, следовательно, $\angle BED = 180^\circ - \angle AED = 180^\circ - \gamma$.
• Сумма углов в треугольнике $\triangle BDE$ равна $180^\circ$:
  $\angle BDE + \angle DBE + \angle BED = 180^\circ$
  $\angle BDE + \beta + (180^\circ - \gamma) = 180^\circ$
  $\angle BDE = \gamma - \beta$.

Ответ: $\gamma - \beta$.

б) AD является биссектрисой внешнего угла при вершине D (рис. 320)

Из общего анализа задачи мы установили, что AD является биссектрисой внутреннего угла $\angle CDE$. По условию пункта б), AD также является биссектрисой внешнего угла при вершине D треугольника CDE.

Внутренний угол $\angle CDE$ и соответствующий ему внешний угол являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Пусть $\angle CDE = \theta$. Тогда внешний угол равен $180^\circ - \theta$.

Из того, что AD — биссектриса внутреннего угла $\angle CDE$, следует, что $\angle ADC = \angle ADE = \frac{\theta}{2}$. Из того, что AD — биссектриса внешнего угла при вершине D, следует, что угол между AD и сторонами, образующими внешний угол, равен $\frac{180^\circ - \theta}{2}$.

Рассмотрим смежные углы $\angle ADC$ и $\angle ADB$. Они в сумме дают $180^\circ$. Угол $\angle ADB$ является углом между стороной AD и продолжением стороны CD. Продолжение стороны CD и сторона DE образуют внешний угол, смежный с $\angle CDE$. Таким образом, AD делит этот внешний угол пополам.

Это означает, что AD является одновременно биссектрисой внутреннего угла $\angle CDE$ и его смежного внешнего угла. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Однако здесь одна и та же прямая AD является биссектрисой обоих углов. Это возможно только если сами углы равны $180^\circ$ и $0^\circ$, что для треугольника невозможно.

Тем не менее, если формально следовать условиям, то:

1. AD - биссектриса $\angle CDE \implies \angle CDE = 2\angle ADC$.
2. AD - биссектриса внешнего угла при вершине D. Внешний угол и внутренний $\angle CDE$ в сумме дают $180^\circ$. Пусть AD делит внешний угол, образованный стороной CD и продолжением ED. Тогда $\text{внешний угол} = 2\angle CDA$.

Складывая внутренний и внешний углы: $\angle CDE + \text{внешний угол} = 180^\circ$
$2\angle ADC + 2\angle ADC = 180^\circ$
$4\angle ADC = 180^\circ$
$\angle ADC = 45^\circ$.

Теперь найдем связь этого угла с углами $\beta$ и $\gamma$. В треугольнике $\triangle ADC$: $\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle DCA$
$\angle ADC = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2}) - \gamma = 90^\circ + \frac{\beta - \gamma}{2}$.

Приравниваем полученные выражения для $\angle ADC$: $45^\circ = 90^\circ + \frac{\beta - \gamma}{2}$
$-45^\circ = \frac{\beta - \gamma}{2}$
$-90^\circ = \beta - \gamma$
$\gamma - \beta = 90^\circ$.

Как и в пункте а), искомый угол $\angle BDE = \gamma - \beta$. Следовательно, $\angle BDE = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.