Номер 466, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

466. Вершины треугольника отстоят от не пересекающей его прямой на $k, l, m$. Найдите расстояние от этой прямой до ортоцентра треугольника.

Для решения этой задачи введем декартову систему координат. Пусть данная прямая, не пересекающая треугольник, является осью абсцисс ($y=0$). Поскольку треугольник не пересекает эту прямую, все его вершины находятся по одну сторону от нее. Без ограничения общности будем считать, что все вершины находятся в верхней полуплоскости ($y > 0$).

Пусть вершины треугольника $A, B, C$ имеют координаты $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$. По условию, расстояния от вершин до прямой $y=0$ равны $k, l, m$. Следовательно, их ординаты равны этим значениям:

$y_A = k$
$y_B = l$
$y_C = m$

Мы ищем расстояние от ортоцентра $H$ треугольника $ABC$ до этой же прямой. Это расстояние равно ординате точки $H$, которую обозначим $d_H$.

Для нахождения координат ортоцентра воспользуемся известным векторным соотношением, связывающим ортоцентр $H$, центр описанной окружности $O'$ и вершины треугольника $A, B, C$. Если в качестве начала отсчета выбрать центр описанной окружности $O'$, то радиус-вектор ортоцентра выражается формулой (соотношение Эйлера):

$\vec{O'H} = \vec{O'A} + \vec{O'B} + \vec{O'C}$

Перейдем от этой формулы к соотношению для радиус-векторов из произвольного начала координат $O$. Пусть $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{h}, \vec{o'}$ — радиус-векторы точек $A, B, C, H, O'$ соответственно. Тогда соотношение Эйлера принимает вид:

$\vec{h} - \vec{o'} = (\vec{a} - \vec{o'}) + (\vec{b} - \vec{o'}) + (\vec{c} - \vec{o'})$

Отсюда получаем выражение для радиус-вектора ортоцентра:

$\vec{h} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 2\vec{o'}$

Это векторное равенство. Чтобы найти ординату точки $H$, спроецируем это равенство на ось ординат. Проекция вектора на ось $y$ равна его ординате. Обозначим ординату центра описанной окружности $O'$ как $d_{O'}$.

$y_H = y_A + y_B + y_C - 2y_{O'}$

Подставляя известные значения ординат, получаем искомую формулу для расстояния от ортоцентра до прямой:

$d_H = k + l + m - 2d_{O'}$

Таким образом, расстояние от ортоцентра до прямой зависит не только от расстояний $k, l, m$, но и от расстояния $d_{O'}$ от центра описанной окружности до той же прямой. Значение $d_{O'}$ зависит от геометрии самого треугольника и его расположения относительно прямой.

Например, рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом в вершине $C$.

• Ортоцентр такого треугольника совпадает с вершиной $C$. Следовательно, расстояние от ортоцентра до прямой равно $d_H = m$.
• Центр описанной окружности $O'$ находится в середине гипотенузы $AB$. Его расстояние до прямой (ордината) равно среднему арифметическому расстояний от точек $A$ и $B$, то есть $d_{O'} = \frac{k+l}{2}$.

Подставим эти значения в нашу формулу:

$d_H = k + l + m - 2 \cdot \left(\frac{k+l}{2}\right) = k+l+m - (k+l) = m$

Результат совпал, что подтверждает корректность формулы. Однако, если бы прямой угол был в вершине $A$, то $d_H = k$, а $d_{O'} = \frac{l+m}{2}$, и формула бы дала $d_H=k$.

Поскольку в условии задачи не содержится информации для определения $d_{O'}$, мы можем выразить искомое расстояние только через $k, l, m$ и $d_{O'}$.

Ответ: Расстояние от ортоцентра до прямой равно $k+l+m-2d_{O'}$, где $d_{O'}$ — расстояние от центра описанной окружности треугольника до этой же прямой.