Номер 468, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

468. Докажите, что прямой, проходящей через середины оснований трапеции, принадлежит точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$.

Введем обозначения для ключевых точек:

• $M$ — середина меньшего основания $BC$.
• $N$ — середина большего основания $AD$.
• $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
• $S$ — точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны $AB$ и $CD$.

Прямая, проходящая через середины оснований, — это прямая $MN$. Нам необходимо доказать, что точки $O$ и $S$ принадлежат этой прямой.

Точка пересечения ее диагоналей

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$. Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), эти треугольники подобны по двум углам:

• $\angle OCB = \angle OAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).
• $\angle OBC = \angle ODA$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$).

Из подобия треугольников следует существование гомотетии (преобразования подобия) с центром в точке $O$, которая переводит $\triangle BOC$ в $\triangle DOA$. Коэффициент этой гомотетии равен $k = -\frac{AD}{BC}$ (отрицательный, так как центр $O$ лежит между соответственными точками, например, $B$ и $D$).

При этой гомотетии точка $B$ переходит в точку $D$, а точка $C$ — в точку $A$. Следовательно, отрезок $BC$ переходит в отрезок $DA$.

Важным свойством гомотетии является то, что она переводит середину отрезка в середину его образа. Точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Ее образ при данной гомотетии должен быть серединой отрезка $DA$. Серединой отрезка $DA$ по определению является точка $N$.

Следовательно, гомотетия с центром в $O$ переводит точку $M$ в точку $N$. По определению гомотетии, центр гомотетии ($O$), любая точка (в нашем случае $M$) и ее образ ($N$) лежат на одной прямой.

Таким образом, точки $O$, $M$ и $N$ коллинеарны, а значит, точка $O$ принадлежит прямой $MN$.

Точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle SBC$ и $\triangle SAD$. Так как $BC \parallel AD$, эти треугольники подобны по двум углам:

• $\angle S$ — общий.
• $\angle SBC = \angle SAD$ (как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $SA$).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $S$, которая переводит $\triangle SBC$ в $\triangle SAD$. Коэффициент этой гомотетии $k' = \frac{AD}{BC}$.

При этой гомотетии точка $B$ переходит в точку $A$, а точка $C$ — в точку $D$. Следовательно, отрезок $BC$ переходит в отрезок $AD$.

Используя то же свойство гомотетии, что и в предыдущем пункте, мы заключаем, что середина отрезка $BC$, то есть точка $M$, переходит в середину отрезка $AD$, то есть в точку $N$.

По определению гомотетии, ее центр ($S$), точка ($M$) и ее образ ($N$) лежат на одной прямой.

Таким образом, точки $S$, $M$ и $N$ коллинеарны, а значит, точка $S$ принадлежит прямой $MN$.

Мы доказали, что точка пересечения диагоналей $O$ и точка пересечения продолжений боковых сторон $S$ лежат на одной прямой $MN$, проходящей через середины оснований трапеции.

Ответ: Что и требовалось доказать.