Номер 470, страница 154 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

470. Есть треугольник со сторонами $a, b, c$. Найдите расстояния от концов стороны длиной $a$ до точки, в которой биссектриса внешнего угла при противолежащей вершине пересекает прямую, содержащую эту сторону.

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Требуется найти расстояния от вершин $B$ и $C$ до точки $P$, в которой биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает прямую, содержащую сторону $BC$.

Для решения этой задачи используется свойство биссектрисы внешнего угла треугольника. Оно гласит, что биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть $AP$ — биссектриса внешнего угла при вершине $A$. Точка $P$ лежит на прямой, содержащей сторону $BC$. Согласно указанному свойству, справедливо соотношение: $$ \frac{BP}{CP} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $$

Решение задачи зависит от соотношения длин сторон $b$ и $c$. Рассмотрим два основных случая.

Случай, когда стороны $b$ и $c$ не равны ($b \neq c$)

Если $b \neq c$, биссектриса внешнего угла пересекает прямую $BC$ в единственной точке $P$. Положение точки $P$ относительно отрезка $BC$ зависит от того, какая из сторон больше, $b$ или $c$.

Если $c > b$, то точка $P$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. В этом случае точки $B$, $C$, $P$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда $BP = BC + CP = a + CP$. Подставим это в основное соотношение: $$ \frac{a + CP}{CP} = \frac{c}{b} \implies b(a + CP) = c \cdot CP \implies ab + b \cdot CP = c \cdot CP \implies ab = CP(c-b) $$ Отсюда находим искомые расстояния: $$ CP = \frac{ab}{c - b} $$ $$ BP = a + CP = a + \frac{ab}{c - b} = \frac{a(c-b)+ab}{c-b} = \frac{ac-ab+ab}{c-b} = \frac{ac}{c - b} $$

Если $b > c$, то точка $P$ лежит на продолжении стороны $BC$ за точку $B$. В этом случае точки $P$, $B$, $C$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Тогда $CP = BP + BC = BP + a$. Подставим это в основное соотношение: $$ \frac{BP}{a + BP} = \frac{c}{b} \implies b \cdot BP = c(a + BP) \implies b \cdot BP = ac + c \cdot BP \implies BP(b-c) = ac $$ Отсюда находим искомые расстояния: $$ BP = \frac{ac}{b - c} $$ $$ CP = a + BP = a + \frac{ac}{b - c} = \frac{a(b-c)+ac}{b-c} = \frac{ab-ac+ac}{b-c} = \frac{ab}{b - c} $$

Обобщая оба подслучая, можно записать формулы для искомых расстояний через модуль разности, чтобы не рассматривать порядок точек на прямой: Расстояние от точки $P$ до вершины $B$: $BP = \frac{ac}{|b - c|}$. Расстояние от точки $P$ до вершины $C$: $CP = \frac{ab}{|b - c|}$.

Случай, когда стороны $b$ и $c$ равны ($b = c$)

Если $b = c$, то треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В этом случае биссектриса внешнего угла при вершине $A$ оказывается параллельной основанию $BC$. Докажем это. Пусть $D$ — точка на продолжении стороны $AB$ за вершину $A$. Внешний угол $\angle CAD$ по свойству внешнего угла треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов: $\angle CAD = \angle ABC + \angle ACB$. Поскольку треугольник равнобедренный ($AB=AC$), то $\angle ABC = \angle ACB$. Следовательно, $\angle CAD = 2\angle ACB$. Пусть $AP$ — биссектриса угла $\angle CAD$, тогда $\angle CAP = \frac{1}{2}\angle CAD = \angle ACB$. Углы $\angle CAP$ и $\angle ACB$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AP$ и $BC$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, прямые $AP$ и $BC$ параллельны. Таким образом, если $b = c$, биссектриса не пересекает прямую $BC$ (или пересекает ее в бесконечности), и задача не имеет решения в виде конечных расстояний. Отметим, что полученные выше общие формулы при $b=c$ содержат деление на ноль, что подтверждает данный вывод.

Ответ: Искомые расстояния от концов стороны $a$ (вершин $B$ и $C$) до точки пересечения $P$ равны $\frac{ac}{|b - c|}$ и $\frac{ab}{|b - c|}$. Это решение справедливо при условии, что $b \neq c$. Если $b = c$, то биссектриса внешнего угла при противолежащей вершине параллельна прямой, содержащей сторону $a$, и точки пересечения не существует.