Номер 475, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

475. Окружность касается одной стороны треугольника и пересекает другую его сторону в точках, отстоящих от вершины на $a$ и на $b$. Найдите расстояние от вершины треугольника до точки касания.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки.

Пусть $A$ — это вершина треугольника, о которой идет речь в условии. Из этой вершины выходят две стороны.

Одна сторона касается окружности в точке $K$. Длину отрезка $AK$ (расстояние от вершины до точки касания) нам нужно найти. Обозначим эту длину как $x$. Таким образом, $AK = x$.

Другая сторона, выходящая из вершины $A$, пересекает окружность в двух точках, назовем их $M$ и $N$. Согласно условию, расстояния от вершины $A$ до этих точек равны $a$ и $b$. Следовательно, $AM = a$ и $AN = b$.

Теорема о касательной и секущей утверждает, что квадрат длины отрезка касательной, проведенной из точки к окружности, равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки, от этой точки до точек пересечения с окружностью.

Применительно к нашей задаче, формула выглядит следующим образом: $AK^2 = AM \cdot AN$

Подставим в формулу известные нам значения: $x^2 = a \cdot b$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, мы рассматриваем только арифметический корень: $x = \sqrt{ab}$

Таким образом, расстояние от вершины треугольника до точки касания равно среднему геометрическому расстояний от этой же вершины до точек пересечения другой стороны с окружностью.

Ответ: $\sqrt{ab}$