Номер 481, страница 155 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

481*. Найдите площадь правильного десятиугольника, учитывая, что его сторона равна $a$.

Площадь правильного десятиугольника можно найти, разбив его на 10 равных равнобедренных треугольников, исходящих из его центра. Основание каждого такого треугольника равно стороне десятиугольника $a$, а угол при вершине, противолежащей основанию, равен $\frac{360^\circ}{10} = 36^\circ$.

Апофема $h$ (высота этого треугольника, опущенная на сторону $a$) делит его на два равных прямоугольных треугольника. Угол при вершине в таком прямоугольном треугольнике равен $\frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$. Катет, противолежащий этому углу, равен $a/2$. Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan(18^\circ) = \frac{a/2}{h}$, откуда апофема $h = \frac{a}{2 \tan(18^\circ)}$.

Площадь одного равнобедренного треугольника $S_{\triangle}$ равна половине произведения основания на высоту:$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} a \left(\frac{a}{2 \tan(18^\circ)}\right) = \frac{a^2}{4 \tan(18^\circ)}$.

Площадь всего десятиугольника $S$ равна сумме площадей 10 таких треугольников:$S = 10 \cdot S_{\triangle} = 10 \cdot \frac{a^2}{4 \tan(18^\circ)} = \frac{5a^2}{2 \tan(18^\circ)} = \frac{5a^2}{2} \cot(18^\circ)$.

Теперь необходимо найти значение $\cot(18^\circ)$. Для этого воспользуемся тригонометрическим соотношением, вытекающим из равенства $5 \cdot 18^\circ = 90^\circ$. Пусть $x = 18^\circ$. Тогда $5x = 90^\circ$, что можно записать как $2x = 90^\circ - 3x$. Так как углы равны, то равны и их синусы: $\sin(2x) = \sin(90^\circ - 3x)$. По формуле приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому $\sin(2x) = \cos(3x)$. Распишем левую и правую части, используя формулы синуса двойного и косинуса тройного угла:$2\sin(x)\cos(x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)$.

Поскольку $x=18^\circ$, то $\cos(x) \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos(x)$:$2\sin(x) = 4\cos^2(x) - 3$. Заменим $\cos^2(x)$ на $1 - \sin^2(x)$ по основному тригонометрическому тождеству:$2\sin(x) = 4(1 - \sin^2(x)) - 3$. Сделаем замену $y = \sin(18^\circ)$ и приведем уравнение к стандартному виду:$2y = 4(1 - y^2) - 3$$2y = 4 - 4y^2 - 3$$4y^2 + 2y - 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$. Угол $18^\circ$ находится в первой координатной четверти, где синус положителен, следовательно, выбираем корень со знаком «плюс»:$\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Теперь, зная $\sin(18^\circ)$, найдем $\cos^2(18^\circ)$:$\cos^2(18^\circ) = 1 - \sin^2(18^\circ) = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{16} = 1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{16} = \frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}$.

Далее найдем квадрат котангенса, используя $\sin^2(18^\circ) = \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 = \frac{6-2\sqrt{5}}{16}$:$\cot^2(18^\circ) = \frac{\cos^2(18^\circ)}{\sin^2(18^\circ)} = \frac{(10 + 2\sqrt{5})/16}{(6 - 2\sqrt{5})/16} = \frac{10 + 2\sqrt{5}}{6 - 2\sqrt{5}} = \frac{2(5 + \sqrt{5})}{2(3 - \sqrt{5})} = \frac{5 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 + \sqrt{5})$:$\cot^2(18^\circ) = \frac{(5 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{15 + 5\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{20 + 8\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{20 + 8\sqrt{5}}{4} = 5 + 2\sqrt{5}$.

Так как угол $18^\circ$ находится в первой четверти, его котангенс положителен, поэтому:$\cot(18^\circ) = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$.

Наконец, подставим найденное значение $\cot(18^\circ)$ в формулу для площади десятиугольника:$S = \frac{5a^2}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$.

Ответ: $S = \frac{5a^2}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}$.